Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das séries a seguir.
sum_{k=1}^{\infty} k^{2} e^{-k^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} e^{-k^{3}}.
O conteúdo principal é o teste da integral: associamos à série a função
f(x) = x^{2} e^{-x^{3}},
e verificamos (i) se f é positiva e decrescente para x\ge1 e (ii) se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
é finita.

Passo 2

Mostramos que f(x)=x^{2}e^{-x^{3}} é positiva e decrescente em [1,\infty).
Como x^{2}>0 e e^{-x^{3}}>0, temos f(x)>0.
Agora, a derivada é
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{-x^{3}}\bigr) = e^{-x^{3}}\bigl(2x - 3x^{4}\bigr) = x\,e^{-x^{3}}\,(2 - 3x^{3}).
Para x\ge1 temos 2-3x^{3}\le2-3<0, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente para x\ge1.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{2} e^{-x^{3}}\,dx.
Fazemos a substituição t = x^{3}, de modo que dt = 3x^{2}\,dx ou x^{2}\,dx = \tfrac{dt}{3}. Portanto,
\int_{1}^{\infty} x^{2} e^{-x^{3}}\,dx = \frac{1}{3} \int_{1^{3}}^{\infty} e^{-t}\,dt = \frac{1}{3} \Bigl[-e^{-t}\Bigr]_{t=1}^{t=\infty} = \frac{1}{3}\bigl(0 -(-e^{-1})\bigr) = \frac{e^{-1}}{3},
que é um valor finito.

Passo 4

Pelo teste da integral, como f(x) é positiva e decrescente para x\ge1 e
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx < \infty,
segue que a série
\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} e^{-k^{3}} converge.

Resposta

A série converge.

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