Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das séries a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
O conteúdo principal é o teste da integral: associamos à série a função
e verificamos (i) se
é positiva e decrescente para
e (ii) se a integral imprópria
é finita.
Passo 2
Mostramos que
é positiva e decrescente em
.
Como e
, temos
.
Agora, a derivada é
Como
Agora, a derivada é
Para
temos
, logo
. Assim
é decrescente para
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Portanto,
que é um valor finito.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
é positiva e decrescente para
e
segue que a série
converge.
Resposta
A série converge.