Se \overrightarrow{n_{1}}=\lambda \overrightarrow{n_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e d_{1}=\lambda d_{2}, \lambda \in \mathbb{R} (mesmo \lambda ) então os planos são:

Passo 1

O enunciado dá dois planos
P_{1}\colon \overrightarrow{n_{1}}\cdot \overrightarrow{r}=d_{1}, \quad P_{2}\colon \overrightarrow{n_{2}}\cdot \overrightarrow{r}=d_{2}
com a condição
\overrightarrow{n_{1}}=\lambda\,\overrightarrow{n_{2}} \quad\text{e}\quad d_{1}=\lambda\,d_{2}
para o mesmo \lambda\in\mathbb{R}. Queremos classificar a posição relativa desses planos.

Passo 2

Se \overrightarrow{n_{1}}=\lambda\,\overrightarrow{n_{2}}, os vetores normais são paralelos, logo P_{1} e P_{2} são planos paralelos (ou coincidentes, dependendo de d_{1} e d_{2}).

Passo 3

Para ver se eles coincidem, escrevemos a equação de P_{1} usando \overrightarrow{n_{1}}=\lambda\,\overrightarrow{n_{2}} e d_{1}=\lambda\,d_{2}:
\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{r}-d_{1} =\lambda\bigl(\overrightarrow{n_{2}}\cdot\overrightarrow{r}-d_{2}\bigr)=0.
Como multiplicar a equação de P_{2} por \lambda não altera o conjunto de soluções, ambos descrevem exatamente o mesmo conjunto de pontos.

Resposta

Os planos são coincidentes.

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