Se \overrightarrow{n_{1}}=\lambda \overrightarrow{n_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e d_{1} \neq \lambda d_{2}, \lambda \in \mathbb{R} (mesmo \lambda ) então os planos são:

Passo 1

O enunciado apresenta dois planos
\pi_1: \overrightarrow{n_1}\cdot \mathbf{r} = d_1
e
\pi_2: \overrightarrow{n_2}\cdot \mathbf{r} = d_2,
onde \mathbf{r}=(x,y,z). Vamos estudar a posição relativa de dois planos a partir da relação entre seus vetores normais e seus termos independentes.

Passo 2

Quando existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\overrightarrow{n_1} = \lambda\,\overrightarrow{n_2},
os vetores normais são colineares. Isso implica que os planos \pi_1 e \pi_2 são paralelos ou coincidentes, pois têm a mesma direção normal.

Passo 3

Para que dois planos colineares sejam coincidentes, é necessário que o termo independente também obedeça
d_1 = \lambda\,d_2.
Se, em contrapartida, d_1 \neq \lambda\,d_2, não há nenhum ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações, ou seja, os planos não se cruzam.

Passo 4

Como no enunciado temos \overrightarrow{n_1} = \lambda\,\overrightarrow{n_2} mas d_1 \neq \lambda\,d_2 (mesmo \lambda), concluímos que os planos são paralelos e distintos.

Resposta

Os planos são paralelos e distintos.

Exercícios relacionados