O plano \pi perpendicular aos planos \pi_{1}:-x+y+3 z-1=0 e \pi_{2}: 3 x-3 y+2 z-3=0 é:
[scolha uma opção:
a. \pi:-18 x-12 y+6 z-2=0
b. \pi: 9 x+18 y-2=0
c. \pi:-18 x+12 y-6 z-2=0
d. \pi: 11 x+11 y-2=0
e. \pi: 11 x-9 y-8 z-2=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano \pi que é perpendicular aos planos
\pi_{1}: -x + y + 3z - 1 = 0
e
\pi_{2}: 3x - 3y + 2z - 3 = 0.
Para que dois planos sejam perpendiculares, seus vetores normais devem ser ortogonais. Vamos usar isso para determinar o vetor normal de \pi.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de \pi_{1} e \pi_{2}:
\mathbf{n}_1 = (-1,\,1,\,3),
\mathbf{n}_2 = (3,\,-3,\,2).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} de \pi deve satisfazer
\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}_1 = 0 \quad\text{e}\quad \mathbf{n}\cdot \mathbf{n}_2 = 0.
Uma forma de obter \mathbf{n} é calcular o produto vetorial
\mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -3 & 2 \end{vmatrix} = (11,\,11,\,0).

Passo 4

A equação geral do plano com normal \mathbf{n}=(11,11,0) é
11x + 11y + 0\cdot z + D = 0,
ou seja,
11x + 11y + D = 0.
Entre as opções dadas, só há uma que tem esse vetor normal e forma 11x+11y-2=0.

Resposta

d. \pi:11x+11y-2=0

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