Determine a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:
r:\left\{\begin{array}{l}x=12-4 m \\\ y=3+2 m \\\ z=-7+m\end{array}\right. e s: X=(2,3,1)+m(-2,1,-2)

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 definidas por equações paramétricas e pede para identificar sua posição relativa (paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas). Vamos usar vetores diretores, testar paralelismo e verificar interseção.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores das retas: para r, \vec v_r =(-4,2,1); para s, \vec v_s =(-2,1,-2).

Passo 3

Testamos paralelismo verificando se existe escalar k tal que \vec v_r =k\,\vec v_s. Pelas componentes obtivemos k=2 pelas duas primeiras, mas isso falha na terceira, então as retas não são paralelas.

Passo 4

Como não são paralelas, testamos interseção. Definimos parâmetros m em r e t em s e igualamos coordenadas:
12 -4m = 2 -2t,\quad 3+2m = 3 + t,\quad -7+m = 1 -2t.

Passo 5

Da segunda equação segue t=2m. Substituindo na primeira:
12 -4m = 2 -4m \implies 12=2,
contradição. Portanto não existem m,t que satisfaçam todas as equações e as retas não se intersectam. São, então, reversas.

Resposta

As retas r e s são reversas: não são paralelas nem se intersectam.

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