Determine a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos: r:\left\{\begin{array}{l}x=12-4 m \\\ y=3+2 m \\\ z=-7+m\end{array}\right. e s: X=(2,3,1)+m(-2,1,-2)
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 definidas por equações paramétricas e pede para identificar sua posição relativa (paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas). Vamos usar vetores diretores, testar paralelismo e verificar interseção.
Passo 2
Identificamos os vetores diretores das retas: para r, \vec v_r =(-4,2,1); para s, \vec v_s =(-2,1,-2).
Passo 3
Testamos paralelismo verificando se existe escalar k tal que \vec v_r =k\,\vec v_s. Pelas componentes obtivemos k=2 pelas duas primeiras, mas isso falha na terceira, então as retas não são paralelas.
Passo 4
Como não são paralelas, testamos interseção. Definimos parâmetros m em r e t em s e igualamos coordenadas: