Determine a posição relativa entre as seguintes retas:
x+2 y=3 e 2 x+3 y=5.

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre as retas
x+2y=3 e 2x+3y=5.
O conteúdo usado será classificação de retas pelo coeficiente angular (declive) e, em seguida, se necessário, solução do sistema para encontrar o ponto de interseção.

Passo 2

Reescrevemos cada reta na forma y=mx+b:
Da reta x+2y=3 vem
y = -tfrac12,x + tfrac32,
logo o coeficiente angular é m1 = -tfrac12.
Da reta 2x+3y=5 vem
y = -tfrac23,x + tfrac53,
logo o coeficiente angular é m2 = -tfrac23.

Passo 3

Comparando m1 e m2:
m1 = -tfrac12 neq -tfrac23 = m2,
portanto as retas não são paralelas nem coincidentes, ou seja, intersectam-se em um único ponto.

Passo 4

Para achar o ponto de interseção, resolvemos o sistema
x + 2y = 3, 2x + 3y = 5
Da primeira equação, x = 3 - 2y. Substituindo na segunda:
2(3-2y) + 3y = 5 ;Longrightarrow; 6 - 4y + 3y = 5 ;Longrightarrow; y = 1
Então x = 3 - 2cdot1 = 1.

Resposta

As retas são concorrentes e intersectam-se em (1,1).

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