Determine a posição relativa das seguintes retas, tomadas duas a duas:
ll r: 5 x-7 y+8=0 & s:-x+2 y-1=0 t: 5 x-7 y+3=0 & u:-3 x+y=0 v:-x+2 y=-1 & z: 10 x-14 y=-16

Passo 1

O enunciado dá seis retas em forma geral e pede para determinar a posição relativa de cada par. O conteúdo é classificação de retas no plano usando a forma reduzida (slope-intercept). Vamos precisar da técnica para converter ax+by+c=0 em y=mx+b e comparar coeficientes m e b.

Passo 2

Para converter uma reta ax + by + c = 0 em forma reduzida, isolamos y: by = -ax - c e obtemos
y = -abx - cb
O coeficiente m=-a/b é o coeficiente angular (slope) e b=-c/b é o coeficiente linear.

Passo 3

Aplicando a conversão em cada reta:
r: 5x - 7y +8=0 y = tfrac57x + tfrac87 então mr=5/7, br=8/7.
s: -x+2y-1=0 y = tfrac12x + tfrac12 então ms=1/2, bs=1/2.
t: 5x-7y+3=0 y = tfrac57x + tfrac37 então mt=5/7, bt=3/7.
u: -3x+y=0 y = 3x então mu=3, bu=0.
v: -x+2y=-1 y = tfrac12x - tfrac12 então mv=1/2, bv=-1/2.
z: 10x-14y=-16 y = tfrac57x + tfrac87 então mz=5/7, bz=8/7.

Passo 4

Duas retas são paralelas ou coincidentes se tiverem o mesmo coeficiente angular m. Se além disso tiverem o mesmo coeficiente linear b, são coincidentes; caso contrário, são paralelas. Se os coeficientes angulares forem diferentes, as retas se intersectam (concorrentes).

Passo 5

Agrupando pelos coeficientes angulares: {r, t, z} têm m=5/7; {s, v} têm m=1/2; u tem m=3. Em {r, t, z}, r e z têm b=8/7 iguais ⇒ coincidem; t tem b=3/7 diferente ⇒ t‖r e t‖z. Em {s, v}, bs=1/2 bv=-1/2 ⇒ s‖v. Todas as demais combinações com m distintos são concorrentes.

Resposta

r e s são concorrentes
r e t são paralelas
r e u são concorrentes
r e v são concorrentes
r e z são coincidentes
s e t são concorrentes
s e u são concorrentes
s e v são paralelas
s e z são concorrentes
t e u são concorrentes
t e v são concorrentes
t e z são paralelas
u e v são concorrentes
u e z são concorrentes
v e z são concorrentes

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