Discuta em função de a e b a posição relativa das retas r : a x-5 y+b=0 e s: 4 x-2 y+7=0.

Passo 1

O problema pede a classificação da posição relativa das retas r: a x - 5 y + b = 0 e s: 4 x - 2 y + 7 = 0. Esse tópico envolve coeficiente angular, paralelismo e coincidência de retas no plano.

Passo 2

Lembre que uma reta Ax + By + C = 0 tem coeficiente angular m = -AB.

Passo 3

Para r temos:
mr = -a-5 = a5,
e para s temos:
ms = -4-2 = 2

Passo 4

Retas são paralelas se mr = ms, isto é a5 = 2, o que implica a = 10.

Passo 5

Para as paralelas coincidirem, todos os coeficientes (A, B, C) devem ser proporcionais:
ArAs = BrBs = CrCs

Passo 6

Já temos a4 = -5-2 = 52 (confirmando a=10), resta verificar b7 = 52.

Passo 7

Da igualdade b7 = 52 segue b = 352.

Resposta

Se a neq 10 as retas se intersectam; se a = 10 e b neq 35/2 são paralelas distintas; se a = 10 e b = 35/2 coincidem.

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