Obtenha uma reta paralela a r: 2 x+y=0 e que define com os eixos um triângulo cuja área é 16.

Passo 1

O enunciado pede uma reta paralela a r: 2x+y=0 que, junto com os eixos Ox e Oy, forme um triângulo de área 16. O conteúdo envolve paralelismo de retas, interceptos com eixos e cálculo de área de triângulo.

Passo 2

Como queremos uma reta paralela a r, basta manter o mesmo coeficiente angular. A equação geral é 2x+y+c=0, onde c≠0 desloca a reta paralelamente.

Passo 3

Para encontrar os interceptos, fazemos y=0 e x=0 na equação 2x+y+c=0. Assim, o intercepto em x é x_int=−c/2 e o intercepto em y é y_int=−c.

Passo 4

O triângulo formado pelos interceptos (x_int,0), (0,y_int) e a origem tem área dada por area=|x_int·y_int|/2. Precisamos que essa área seja 16, ou seja,

Passo 5

é preciso ter

Passo 6

|xintcdot yint|2=16 Substituindo x_int=−c/2 e y_int=−c,

Passo 7

obtém-se

Passo 8

l|(-c/2)(-c)r|2=16Rightarrowc^2/22=16Rightarrowc^24=16Rightarrow c^2=64

Passo 9

Portanto c=±8 e as duas retas procuradas são 2x+y+8=0 e 2x+y−8=0.

Resposta

As retas são 2x+y+8=0 e 2x+y-8=0.

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