Discuta em função de m a posição relativa das retas r: 5 x+y+5=0 e s : 2 x+m y+5 m=0.

Passo 1

O enunciado pede para discutir, em função de m, a posição relativa das retas
r:;5x+y+5=0
e
s:;2x+m y+5m=0
O conteúdo usado será a teoria de sistemas lineares de duas equações para verificar se as retas são concorrentes (se cruzam num ponto), paralelas distintas ou coincidentes.

Passo 2

Escrevemos o sistema associado às equações das retas como
5x + y = -5, 2x + m y = -5m
O determinante dos coeficientes é
D = 5 & 1[6pt] 2 & m = 5 cdot m - 2 cdot 1 = 5m - 2 ]

Passo 3

Se Dneq0, ou seja, se
5m - 2 neq 0 Long<=ftrightarrow m neq tfrac25,
o sistema tem solução única. Isso significa que as retas são concorrentes e se cruzam em exatamente um ponto.

Passo 4

Se D=0, ou seja m=tfrac25, as retas podem ser paralelas ou coincidentes. Para m=tfrac25 temos:
s:;2x+tfrac25y+5!cdottfrac25=0 ;Longrightarrow; 2x+tfrac25y+2=0
Multiplicando por 5 obtemos
10x+2y+10=0 ;Longrightarrow; 5x+y+5=0,
que é exatamente r. Logo, para m=tfrac25 as retas são coincidentes.

Resposta

Para m = tfrac25: as retas são coincidentes.
Para m neq tfrac25: as retas são concorrentes (se cruzam em um único ponto).

Exercícios relacionados