Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano determinado pelos pontos A=(3,1,2), B=(4,-1,-1) e C=(2,0,2).

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço e pede duas coisas:
  • Escrever as equações paramétricas do plano determinado por A=(3,1,2), B=(4,-1,-1) e C=(2,0,2).
  • Escrever a equação cartesiana (normal) desse mesmo plano.
Informações dadas:
  • A=(3,1,2).
  • B=(4,-1,-1).
  • C=(2,0,2).
O objetivo é fornecer uma forma paramétrica (usando um ponto do plano e dois vetores diretores) e uma forma cartesiana (uma equação linear do tipo ax+by+cz+d=0).

Passo 2

Primeiro precisamos de dois vetores diretores do plano. Uma escolha natural são os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Vamos calculá-los componente a componente.
\overrightarrow{AB}=B-A=(4-3,\,-1-1,\,-1-2)=(1,\,-2,\,-3).
\overrightarrow{AC}=C-A=(2-3,\;0-1,\;2-2)=(-1,\,-1,\;0).
Agora verificamos se esses vetores são linearmente independentes (ou seja, não colineares). Se fossem múltiplos um do outro teriam todas as componentes proporcionais; aqui a terceira componente de \overrightarrow{AC} é 0 e a de \overrightarrow{AB} é -3, então não há proporção constante que funcione. Logo são independentes e definem o plano.

Passo 3

Construção das equações paramétricas. Qualquer ponto [P) do plano pode ser escrito como um ponto fixo (por exemplo A) mais combinação linear dos vetores diretores:
\vec{r}=\overrightarrow{OA} + s\,\overrightarrow{AB} + t\,\overrightarrow{AC},
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros e \overrightarrow{OA}=(3,1,2). Substituindo os vetores:
\vec{r}=(3,1,2) + s(1,-2,-3) + t(-1,-1,0).
Escrevendo componente a componente (equações paramétricas escalares):
\begin{cases} x = 3 + s - t,\\[4pt] y = 1 - 2s - t,\\[4pt] z = 2 - 3s. \end{cases}
Explicação didática rápida: os parâmetros s\] e \(t variam livremente; para cada par (s,t) obtemos um ponto do plano. Isso é prático na prova: basta dar um ponto do plano e dois vetores diretores.]

Passo 4

Agora vamos obter a equação cartesiana. Para isso precisamos de um vetor normal \vec{n} ao plano. O vetor normal pode ser obtido pelo produto vetorial de \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Calculemos o produto vetorial usando determinante:
\vec{n}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -2 & -3 \\\\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo por cofactores:
n_x = (-2)\cdot 0 - (-3)\cdot(-1) = 0-3 = -3,
n_y = -\big(1\cdot 0 - (-3)\cdot(-1)\big) = -(0-3)=3,
n_z = 1\cdot(-1) - (-2)\cdot(-1) = -1-2 = -3.
Portanto
\vec{n}=(-3,\,3,\,-3).
Podemos simplificar (fatorar -3) para obter um normal mais simples: \vec{n}= -3(1,-1,1). Um vetor normal equivalente é
\vec{n}=(1,\,-1,\;1),
pois multiplicar a normal por escalar não altera a equação do plano (apenas divide/ multiplica toda a equação).

Passo 5

Com o vetor normal \vec{n}=(1,-1,1) e um ponto conhecido do plano (por exemplo A=(3,1,2)), a equação cartesiana do plano é obtida impondo que o vetor (x,y,z)-A seja ortogonal a \vec{n}:
\vec{n}\cdot\big((x,y,z)-(3,1,2)\big)=0.
Escrevendo o produto escalar:
(1,-1,1)\cdot(x-3,\,y-1,\,z-2)=0.
Calculando a soma das componentes:
1\cdot(x-3) + (-1)\cdot(y-1) + 1\cdot(z-2) = 0.
Simplificando os termos:
x-3 - y +1 + z -2 = 0.
x - y + z -4 = 0.
Logo a forma cartesiana é
x - y + z = 4.
Vamos conferir rapidamente (checagem útil na prova): substituindo B e C,
\text{em }B:\;4 - (-1) + (-1) = 4+1-1=4,
\text{em }C:\;2 - 0 + 2 = 4,
satisfeito.

Resposta

Paramétricas (com parâmetros s,t):
\begin{cases} x = 3 + s - t,\\[4pt] y = 1 - 2s - t,\\[4pt] z = 2 - 3s. \end{cases}
Cartesiana:
x - y + z = 4.]

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