Determine e, se possível, classifique em um tipo especial as seguintes matrizes: A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 3} tal que a_{i j}=\left\{\begin{array}{cc}i^{2}, & \text { se } i=j \\\\ 0, & \text { se } i<j \\\ i-2 j, & \text { se } i>j\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado define a matriz A=(a_{ij})\) de ordem \(3\), em que
\(a_{ij}=\begin{cases}
i^{2},&\text{se }i=j,\\\\ 0,&\text{se }i<j,\\\ i-2j,&\text{se }i>j.
\end{cases}
Queremos escrever explicitamente essa matriz e identificar se ela pertence a algum tipo especial (triangular, simétrica, invertível etc.).
Passo 2
Vamos calcular cada entrada de A para i,j=1,2,3:
Para i=j: a_{11}=1^{2}=1,\quad a_{22}=2^{2}=4,\quad a_{33}=3^{2}=9.
Para i<j (acima da diagonal): a_{12}=0,\;a_{13}=0,\;a_{23}=0.
Para i>j (abaixo da diagonal): a_{21}=2-2\cdot1=0,\quad a_{31}=3-2\cdot1=1,\quad a_{32}=3-2\cdot2=-1.
Note que todos os elementos acima da diagonal principal são zero (a_{ij}=0 para i<j). Isso caracteriza uma matriz triangular inferior, pois só há valores possivelmente não nulos na diagonal e abaixo dela.
Para qualquer matriz triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Então,
\det(A)=1\cdot4\cdot9=36.
Passo 4
Como \det(A)=36\neq0, concluímos que A é invertível (não singular).