Determine os valores de x, y, z, w \in \mathbb{R} de modo que
\left[\begin{array}{cc} x+2 & 2 y-6 \\\ z-3 & x+y \\\ w+1 & 2 w \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 x+2 y & -2 \\\\ -z+w & 2-y \\\ x+2 z & x \end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade de duas matrizes 3\times2 cujos elementos correspondentes devem coincidir. O conteúdo aqui é resolver um sistema linear de seis equações em quatro incógnitas x,y,z,w.
Passo 2
Igualando cada entrada das matrizes, temos o sistema
\begin{cases} x + 2 = 2x + 2y,\\\\ 2y - 6 = -2,\\\ z - 3 = -z + w,\\\ x + y = 2 - y,\\\ w + 1 = x + 2z,\\\\ 2w = x. \end{cases}
Passo 3
Da segunda equação,
2y - 6 = -2
temos
2y = 4 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
Passo 4
Substituindo y=2 na primeira equação,
x + 2 = 2x + 2\cdot2 = 2x + 4
segue que
x = -2.
Podemos também verificar que a quarta equação
x + y = 2 - y
vira
-2 + 2 = 2 - 2
ou seja, 0=0, consistente com x=-2 e y=2.
Passo 5
Da sexta equação,
2w = x = -2
segue
w = -1.
Passo 6
Da terceira equação,
z - 3 = -z + w = -z - 1
obtém–se
2z = 2 \quad\Longrightarrow\quad z = 1.
Finalmente, checamos a quinta equação:
w + 1 = -1 + 1 = 0 \quad\text{e}\quad x + 2z = -2 + 2\cdot1 = 0,