Exemplo 4.18. Seja A=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 1 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right], calculemos bases para \operatorname{Col}(A)^{\perp}, subespaço de \mathbb{R}^{4} e N u l(A)^{\perp} subespaço de \mathbb{R}^{2}, considerando o produto escalar em cada espaço.
Como \rank(A)=2 em \R^2, segue que \Nul(A)=\{0\} e, portanto, \Nul(A)^\perp=\R^2.
Alternativamente, \Nul(A)^\perp=\Row(A), que é gerado pelas linhas de A. Por exemplo, as duas primeiras linhas
r_1=(2,1), \quad r_2=(2,0)
são independentes e formam uma base da linha.
Resposta
Base de \Col(A)^\perp\subset\R^4:
\{(2,-3,2,0),\,(-6,5,0,2)\}.
Base de \Nul(A)^\perp\subset\R^2:
\{(2,1),\,(2,0)\},
ou simplesmente a base canônica \{(1,0),(0,1)\}, pois \Nul(A)^\perp=\R^2.