Exemplo 4.18. Seja A=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 2 & 0 \\\\ 1 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right], calculemos bases para \operatorname{Col}(A)^{\perp}, subespaço de \mathbb{R}^{4} e N u l(A)^{\perp} subespaço de \mathbb{R}^{2}, considerando o produto escalar em cada espaço.

Passo 1

O enunciado dá
A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 2 & 0\\\\ 1 & -1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
e pede bases para \Col(A)^\perp\subset\R^4 e para \Nul(A)^\perp\subset\R^2.
Usamos que
  1. \Col(A)^\perp = \Nul(A^T) em \R^4.
  2. \Nul(A)^\perp = \Row(A) (ou seja, \Col(A^T)) em \R^2.

Passo 2

Primeiro montamos
A^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}
e resolvemos \;A^T x = 0, com x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\R^4.

Passo 3

O sistema é
\begin{cases} 2x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0,\\\ x_1 \;-\; x_3 + 3x_4 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_1 = x_3 - 3x_4. Substituindo na primeira:
2(x_3-3x_4) + 2x_2 + x_3 + x_4 = 0 \;\Longrightarrow\; 2x_2 + 3x_3 -5x_4=0 \;\Longrightarrow\; x_2 = -\tfrac32\,x_3 + \tfrac52\,x_4.

Passo 4

Parametrizamos por t=x_3 e s=x_4:
x = \bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) = \bigl(t-3s,\,-\tfrac32t+\tfrac52s,\;t,\;s\bigr) = t\,(1,-\tfrac32,1,0) \;+\;s\,(-3,\tfrac52,0,1).
Para evitar frações, escolhemos t=2 e s=2, gerando os vetores
u_1 = (2,-3,2,0), \quad u_2 = (-6,5,0,2).
Logo
\Col(A)^\perp = \Nul(A^T) = \Span\{\,u_1,u_2\} = \Span\{(2,-3,2,0),\,(-6,5,0,2)\}.

Passo 5

Como \rank(A)=2 em \R^2, segue que \Nul(A)=\{0\} e, portanto, \Nul(A)^\perp=\R^2.
Alternativamente, \Nul(A)^\perp=\Row(A), que é gerado pelas linhas de A. Por exemplo, as duas primeiras linhas
r_1=(2,1), \quad r_2=(2,0)
são independentes e formam uma base da linha.

Resposta

Base de \Col(A)^\perp\subset\R^4:
\{(2,-3,2,0),\,(-6,5,0,2)\}.
Base de \Nul(A)^\perp\subset\R^2:
\{(2,1),\,(2,0)\},
ou simplesmente a base canônica \{(1,0),(0,1)\}, pois \Nul(A)^\perp=\R^2.

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