Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal?
f(x)=x+2 sen x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x+2sin x
e pede os pontos onde o gráfico de f tem reta tangente horizontal. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas: a reta tangente é horizontal quando a derivada de f em x for zero, isto é, quando
f'(x)=0

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como a derivada de x é 1 e a de sin x é cos x, obtemos
f'(x)=ddxl(x+2sin xr)=1+2cos x

Passo 3

Impondo a condição de tangente horizontal, temos
f'(x)=0 Longrightarrow 1+2cos x=0 Longrightarrow cos x=-tfrac12

Passo 4

Resolver cos x=-tfrac12 leva às soluções conhecidas no ciclo trigonométrico. Sabemos que
arccosl(-tfrac12r)=tfrac2pi3 ou arccosl(-tfrac12r)=tfrac4pi3
Como a função cosseno é 2pi-periódica, a solução geral é
x = 2pi3 + 2kpi ou x = 4pi3 + 2kpi,
com kinZ.

Resposta

x = 2pi3 + 2kpi ou x = 4pi3 + 2kpi, kinZ

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