Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Neste exercício, vamos analisar a função racional
, encontrando domínio, imagem e esboçando seu gráfico. Para isso, precisamos saber como definir o domínio de frações, simplificar expressões algébricas e estudar descontinuidades.
Passo 2
Para determinar o domínio, observamos que o denominador não pode ser zero. Logo, impomos
, então
. Portanto, o domínio é
ou
).
Passo 3
Para entender o comportamento de
, simplificamos a expressão quando
:
Isso mostra que
para
, mas há uma descontinuidade removível em
(furo).
Passo 4
Para a imagem, como
no domínio, normalmente isso daria
, mas o valor
que geraria
não está no domínio. Logo,
não é atingido, então a imagem é
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, desenhamos a reta
e marcamos um círculo vazio (furo) no ponto
para indicar a descontinuidade removível.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Gráfico: reta
com furo em
.