Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x^2-1x-1

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar a função racional f(x)=x^2-1x-1, encontrando domínio, imagem e esboçando seu gráfico. Para isso, precisamos saber como definir o domínio de frações, simplificar expressões algébricas e estudar descontinuidades.

Passo 2

Para determinar o domínio, observamos que o denominador não pode ser zero. Logo, impomos x-1neq0, então xneq1. Portanto, o domínio é Rsetminus1 ou ).

Passo 3

Para entender o comportamento de f, simplificamos a expressão quando xneq1:
x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1
Isso mostra que f(x)=x+1 para xneq1, mas há uma descontinuidade removível em x=1 (furo).

Passo 4

Para a imagem, como f(x)=x+1 no domínio, normalmente isso daria R, mas o valor x=1 que geraria y=2 não está no domínio. Logo, y=2 não é atingido, então a imagem é Rsetminus2.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, desenhamos a reta y=x+1 e marcamos um círculo vazio (furo) no ponto (1,2) para indicar a descontinuidade removível.

Resposta

Domínio: Rsetminus1. Imagem: Rsetminus2. Gráfico: reta y=x+1 com furo em (1,2).

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