Questão 6 (
pontos): A posição de determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial (PVI):
Resolva o PVI. Esse sistema massa-mola possui que tipo de comportamento: oscilatório perpétuo, oscilatório amortecido ou somente amortecido, isto é, quando o atrito é relativamente grande que a mola não consegue oscilar? Justifique sua resposta com base na solução encontrada.
Passo 1
O enunciado apresenta o PVI
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo é (1) encontrar a solução geral usando a equação característica e (2) aplicar as condições iniciais para obter a solução particular. Em seguida, vamos classificar o comportamento do sistema (oscilações ou amortecimento) com base na forma da solução.
Passo 2
Para resolver a EDO, montamos a equação característica associada:
Fatorando, obtemos
com raízes
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral é
Passo 3
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro,
Em seguida, derivando
e impondo
, vem
Logo
. Portanto a solução particular é
Passo 4
A solução
não tem termos oscilatórios (não há seno ou cosseno), mas sim um decaimento exponencial até o valor de equilíbrio
. Isso indica que o sistema não oscila; ele é somente amortecido, pois a resistência (amortecimento) é tão grande que impede qualquer oscilação.
Resposta
O comportamento é somente amortecido, pois a solução decai exponencialmente sem apresentar parte oscilatória.