Questão 6 ( \mathbf{2 , 5} pontos): A posição de determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial (PVI):
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2 .
Resolva o PVI. Esse sistema massa-mola possui que tipo de comportamento: oscilatório perpétuo, oscilatório amortecido ou somente amortecido, isto é, quando o atrito é relativamente grande que a mola não consegue oscilar? Justifique sua resposta com base na solução encontrada.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
y'' + 2\,y' = 0,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=2
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo é (1) encontrar a solução geral usando a equação característica e (2) aplicar as condições iniciais para obter a solução particular. Em seguida, vamos classificar o comportamento do sistema (oscilações ou amortecimento) com base na forma da solução.

Passo 2

Para resolver a EDO, montamos a equação característica associada:
r^2 + 2\,r = 0.
Fatorando, obtemos
r\,(r + 2)=0
com raízes
r_1=0,\quad r_2=-2.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral é
y(t)=C_1 + C_2\,e^{-2t}.

Passo 3

Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Primeiro,
y(0)=C_1 + C_2 = 0.
Em seguida, derivando
y'(t) = -2\,C_2\,e^{-2t},
e impondo y'(0)=2, vem
-2\,C_2 = 2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -1.
Logo C_1 = -C_2 = 1. Portanto a solução particular é
y(t) = 1 - e^{-2t}.

Passo 4

A solução y(t)=1 - e^{-2t} não tem termos oscilatórios (não há seno ou cosseno), mas sim um decaimento exponencial até o valor de equilíbrio y=1. Isso indica que o sistema não oscila; ele é somente amortecido, pois a resistência (amortecimento) é tão grande que impede qualquer oscilação.

Resposta

y(t)=1 - e^{-2t}.
O comportamento é somente amortecido, pois a solução decai exponencialmente sem apresentar parte oscilatória.

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