Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
O conteúdo envolve definição de domínio de funções com raiz quadrada, análise de limites para identificar a imagem e entendimento de comportamento assintótico para desenhar o gráfico.
Passo 2
Para determinar o domínio, observe dois requisitos: primeiro, o radicando de
deve ser não-negativo e, segundo, o denominador não pode ser zero.
- Condição de existência da raiz:
2. Condição do denominador:
Mas como
, temos
, logo nunca se anula.
Portanto o domínio é
Passo 3
Para achar a imagem, analisamos o valor de
em todo o domínio:
- Em
, temos
- Para
, e, portanto,
- A função
é contínua e estritamente decrescente em , pois o denominador cresce com .
Logo
atinge o valor máximo
em
e tende a zero sem nunca alcançá-lo. A imagem é
Passo 4
Para esboçar o gráfico, usemos alguns pontos notáveis e o comportamento assintótico:
- Em
,; . - Em
,; . - Em
,; . - Quando
, , indicando uma assíntota horizontal em .
Assim o gráfico parte de
, desce de forma suave e se aproxima de
à medida que
cresce. Não há assíntota vertical porque o denominador nunca zera.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: curva contínua decrescente passando por ,
,
e com assíntota horizontal
.
Imagem:
Gráfico: curva contínua decrescente passando por