Determine, se possível, o domínio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}.
O conteúdo envolve definição de domínio de funções com raiz quadrada, análise de limites para identificar a imagem e entendimento de comportamento assintótico para desenhar o gráfico.

Passo 2

Para determinar o domínio, observe dois requisitos: primeiro, o radicando de \sqrt{x} deve ser não-negativo e, segundo, o denominador não pode ser zero.
  1. Condição de existência da raiz:
    x\ge0. 2. Condição do denominador:
1+\sqrt{x}\neq0.
Mas como \sqrt{x}\ge0, temos 1+\sqrt{x}\ge1>0, logo nunca se anula.
Portanto o domínio é
\mathcal{D} = [0,\infty).

Passo 3

Para achar a imagem, analisamos o valor de f(x) em todo o domínio:
  1. Em x=0, temos
f(0)=\frac{1}{1+\sqrt{0}}=\frac{1}{1}=1.
  1. Para x\to+\infty, \sqrt{x}\to+\infty e, portanto,
f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}\;\longrightarrow\;0^+.
  1. A função f é contínua e estritamente decrescente em [0,\infty), pois o denominador cresce com x.
Logo f(x) atinge o valor máximo 1 em x=0 e tende a zero sem nunca alcançá-lo. A imagem é
\operatorname{Im}(f)=(0,1].

Passo 4

Para esboçar o gráfico, usemos alguns pontos notáveis e o comportamento assintótico:
  • Em x=0,; f(0)=1.
  • Em x=1,; f(1)=1/(1+1)=1/2.
  • Em x=4,; f(4)=1/(1+2)=1/3.
  • Quando x\to\infty, f(x)\to0, indicando uma assíntota horizontal em y=0.
Assim o gráfico parte de (0,1), desce de forma suave e se aproxima de y=0 à medida que x cresce. Não há assíntota vertical porque o denominador nunca zera.

Resposta

Domínio: [0,\infty)
Imagem: (0,1]
Gráfico: curva contínua decrescente passando por (0,1), (1,0,5), (4,0,33\ldots) e com assíntota horizontal y=0.

Exercícios relacionados