Questão 5 (1,5 pontos): Considere a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
Encontre a solução geral da equação (4) utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
e pede a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar (1) resolver a parte homogênea associada e (2) montar um palpite de solução particular para cada termo do lado direito.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
e
. Portanto, a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea, o termo
“ressona” com
da homogênea, então propomos
Para o termo
, não há ressonância (os autovalores da homogênea são
e
), então propomos
Assim, a solução particular geral é
Passo 4
Determine
usando só
. Calculamos
Substituindo em
:
Queremos esse resultado igual a
, logo
Passo 5
Determine
e
usando só
. Calculamos
Substituindo em
e coletando
e
:
Isso gera o sistema
cuja solução é
Passo 6
Juntando tudo, a solução geral é