Questão 5 (1,5 pontos): Considere a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=4 e^{3 t}+\cos (t) .
Encontre a solução geral da equação (4) utilizando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 5y' + 6y = 4e^{3t} + \cos(t),
e pede a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar (1) resolver a parte homogênea associada e (2) montar um palpite de solução particular para cada termo do lado direito.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' - 5y' + 6y = 0.
A equação característica é
r^2 - 5r + 6 = 0,
cuja solução é r=2 e r=3. Portanto, a solução geral da parte homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t}.

Passo 3

Para a parte não homogênea, o termo 4e^{3t} “ressona” com e^{3t} da homogênea, então propomos
y_{p1}(t) = A\,t\,e^{3t}.
Para o termo \cos(t), não há ressonância (os autovalores da homogênea são 2 e 3), então propomos
y_{p2}(t) = B\cos(t) + C\sin(t).
Assim, a solução particular geral é
y_p(t) = A\,t\,e^{3t} \;+\; B\cos(t) + C\sin(t).

Passo 4

Determine A usando só y_{p1}. Calculamos
y_{p1}' = A e^{3t}(1+3t), \quad y_{p1}'' = A e^{3t}(6+9t).
Substituindo em y''-5y'+6y:
y_{p1}'' - 5y_{p1}' + 6y_{p1} = A e^{3t}\bigl[(6+9t) -5(1+3t) +6t\bigr] = A e^{3t}\bigl[1\bigr] = A e^{3t}.
Queremos esse resultado igual a 4e^{3t}, logo
A = 4.

Passo 5

Determine B e C usando só y_{p2}. Calculamos
y_{p2}' = -B\sin t + C\cos t, \quad y_{p2}'' = -B\cos t - C\sin t.
Substituindo em y''-5y'+6y e coletando \cos t e \sin t:
(5B - 5C)\cos t + (5B + 5C)\sin t \stackrel!= 1\cos t + 0\sin t.
Isso gera o sistema
5B - 5C = 1, \quad 5B + 5C = 0,
cuja solução é
B = \tfrac{1}{10}, \quad C = -\tfrac{1}{10}.

Passo 6

Juntando tudo, a solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t} + 4\,t\,e^{3t} + \tfrac{1}{10}\cos t \;-\; \tfrac{1}{10}\sin t.

Resposta

y(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{3t} + 4\,t\,e^{3t} + \frac{1}{10}\bigl(\cos t - \sin t\bigr).

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