Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s, nos casos a seguir:
r:(x, y, z)=(1,2,0)+h(-1,2,3), h in R, e s: x-12=y-23=-z.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r: (x,y,z)=(1,2,0)+h(-1,2,3),;hinR
e
s: x-12=y-23=-z
O conteúdo é geometria no espaço: para determinar um plano basta um ponto e um vetor normal. Vamos obter um ponto comum às retas e um vetor normal via produto vetorial das direções.

Passo 2

Na reta r vemos que um ponto é
P=(1,2,0)
e o vetor direção é
vec v1=(-1,2,3)

Passo 3

Para reescrever s em forma paramétrica, seja
t=x-12=y-23=-z
Então
x=1+2t, y=2+3t, z=-t
Isso mostra que s passa por
P'=(1,2,0)
com vetor direção
vec v2=(2,3,-1)

Passo 4

Como P=P'=(1,2,0), as retas se intersectam nesse ponto, que pertence ao plano buscado.

Passo 5

O vetor normal vec n ao plano é dado por
vec n = vec v1times vec v2
Calculando as componentes:
nx = 2cdot(-1) - 3cdot3 = -2 -9 = -11,
ny = -l((-1)cdot(-1) - 3cdot2r) = -(1-6)=5,
nz = (-1)cdot3 - 2cdot2 = -3 -4 = -7
Logo
vec n = (-11,,5,,-7)

Passo 6

A equação geral do plano com normal vec n passando por P=(1,2,0) é
vec ncdotl((x,y,z)-Pr)=0,
isto é,
-11(x-1)+5(y-2)-7(z-0)=0
Simplificando:
11x - 5y + 7z - 1 = 0

Resposta

11x - 5y + 7z - 1 = 0

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