Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas retas e , nos casos a seguir: .
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que contenha as retas
O conteúdo aqui é geometria analítica em : para que duas retas determinem um plano, elas devem ser paralelas ou concorrentes (isto é, se intersectarem). Se forem reversas (skew), nenhum plano único passa por ambas.
Passo 2
Vamos extrair os vetores diretores e testar paralelismo.
O vetor diretor de r é vec v=(1,2,-1),
e o de s é vec w=(2,0,4).
Para serem paralelos precisaríamos vec v=lambda,vec w para algum lambda. Mas comparando componentes não existe lambda que satisfaça simultaneamente
1=lambdacdot2, 2=lambdacdot0, -1=lambdacdot4,
logo elas não são paralelas.
Passo 3
Agora testamos interseção resolvendo
(-1+h,,2+2h,,1-h) = (2t,,3,,1+4t)
Das componentes:
2+2h=3 dá h=tfrac12.
Em x: -1+tfrac12=2t leva a t=-tfrac14.
Em z: 1-tfrac12=tfrac12 mas 1+4(-tfrac14)=0.
Como tfrac12neq0, não há solução comum, isto é, as retas não se intersectam.
Passo 4
Concluímos que as retas não são nem paralelas nem concorrentes, ou seja, são reversas (skew). Duas retas skew não determinam um plano único em R^3.
Resposta
Não é possível determinar um plano que contenha simultaneamente r e s.