Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s, nos casos a seguir:
r:(x, y, z)=(-1,2,1)+h(1,2,-1), h in R, s:lx=2 t y=3 z=1+4 t, t in R.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contenha as retas
O conteúdo aqui é geometria analítica em : para que duas retas determinem um plano, elas devem ser paralelas ou concorrentes (isto é, se intersectarem). Se forem reversas (skew), nenhum plano único passa por ambas.

Passo 2

Vamos extrair os vetores diretores e testar paralelismo.
O vetor diretor de r é
vec v=(1,2,-1),
e o de s é
vec w=(2,0,4).
Para serem paralelos precisaríamos vec v=lambda,vec w para algum lambda. Mas comparando componentes não existe lambda que satisfaça simultaneamente
1=lambdacdot2, 2=lambdacdot0, -1=lambdacdot4,
logo elas não são paralelas.

Passo 3

Agora testamos interseção resolvendo
(-1+h,,2+2h,,1-h) = (2t,,3,,1+4t)
Das componentes:
  1. 2+2h=3 h=tfrac12.
  2. Em x: -1+tfrac12=2t leva a t=-tfrac14.
  3. Em z: 1-tfrac12=tfrac12 mas 1+4(-tfrac14)=0.
    Como tfrac12neq0, não há solução comum, isto é, as retas não se intersectam.

Passo 4

Concluímos que as retas não são nem paralelas nem concorrentes, ou seja, são reversas (skew). Duas retas skew não determinam um plano único em R^3.

Resposta

Não é possível determinar um plano que contenha simultaneamente r e s.

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