Determine um possível espaço amostral para os experimentos descrito abaixo:
Um posto tem dois tipos de vacina (A e B). Três vacinas são selecionadas, uma de cada vez, ao acaso e com reposição, observando-se (i) o número de vacinas do tipo A ; (ii) o número de vacinas do tipo B .

Passo 1

O enunciado pede para determinar um possível espaço amostral para o experimento descrito. As informações dadas são:
  • Há dois tipos de vacina: A e B.
  • São selecionadas três vacinas, uma de cada vez, ao acaso e com reposição.
  • Observa-se apenas: (i) o número de vacinas do tipo A e (ii) o número de vacinas do tipo B.
Portanto a pergunta é: quais são todos os resultados possíveis, descritos pelo par (número de A, número de B), que podem ocorrer nesse procedimento?

Passo 2

Para entender melhor, vamos primeiro pensar nos resultados elementares quando registramos a sequência completa das três retiradas (ordem e tipo a cada retirada). Como cada retirada pode ser A ou B e há reposição, o conjunto de todas as sequências possíveis tem 2^3=8 elementos. Podemos listar essas sequências assim:
\{AAA,\; AAB,\; ABA,\; BAA,\; ABB,\; BAB,\; BBA,\; BBB\}.
Explicação didática: cada sequência representa o resultado de cada uma das três retiradas em ordem. Como há reposição, cada retirada tem duas opções independentes, assim 2\cdot2\cdot2=8.

Passo 3

Agora definimos as variáveis que realmente interessam (o que o enunciado pede que se observe):
  • Seja X o número de vacinas do tipo A nas três retiradas.
  • Seja Y o número de vacinas do tipo B nas três retiradas.
Observação simples e útil: para qualquer realização do experimento vale a relação
X+Y=3,
porque cada uma das três retiradas é ou A ou B.

Passo 4

Como X e Y são números inteiros não negativos que somam 3, as possibilidades para X são 0,1,2,3. Para cada valor de X o valor de Y fica determinado por Y=3-X. Assim todos os pares possíveis (X,Y) são:
(0,3),\quad (1,2),\quad (2,1),\quad (3,0).
Didaticamente: estamos reduzindo as 8 sequências ordenadas aos resultados relevantes (contagens). Várias sequências diferentes podem levar ao mesmo par (X,Y) — por exemplo AAB,\; ABA,\; BAA correspondem todas a (2,1).

Passo 5

Para consolidar a ideia, veja como as 8 sequências se agrupam por contagens:
  • (3,0) ocorre apenas para a sequência \{AAA\} (1 sequência).
  • (2,1) ocorre para \{AAB,\; ABA,\; BAA\} ( 3 sequências).
  • (1,2) ocorre para \{ABB,\; BAB,\; BBA\} ( 3 sequências).
  • (0,3) ocorre apenas para a sequência \{BBB\} (1 sequência).
Em termos combinatórios, o número de sequências que produzem (k,3-k) é \binom{3}{k}. Isso é útil se depois quiser calcular probabilidades.

Passo 6

Resumo didático final: quando o experimento registra apenas o número de A e o número de B em três retiradas com reposição, o espaço amostral é o conjunto dos pares inteiros não negativos cuja soma é 3. Uma forma concisa de escrever isso é
S=\{(x,y)\in\mathbb{N}_0^2 \mid x+y=3\}.

Resposta

\{(0,3),\;(1,2),\;(2,1),\;(3,0)\}

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