Determine um possível espaço amostral para os experimentos descrito abaixo:
Um posto tem dois tipos de vacina (A e B). Três vacinas são selecionadas, uma de cada vez, ao acaso e com reposição, observando-se (i) o número de vacinas do tipo A ; (ii) o número de vacinas do tipo B .
Um posto tem dois tipos de vacina (A e B). Três vacinas são selecionadas, uma de cada vez, ao acaso e com reposição, observando-se (i) o número de vacinas do tipo A ; (ii) o número de vacinas do tipo B .
Passo 1
O enunciado pede para determinar um possível espaço amostral para o experimento descrito. As informações dadas são:
- Há dois tipos de vacina:
e . - São selecionadas três vacinas, uma de cada vez, ao acaso e com reposição.
- Observa-se apenas: (i) o número de vacinas do tipo
e (ii) o número de vacinas do tipo .
Portanto a pergunta é: quais são todos os resultados possíveis, descritos pelo par (número de
, número de
), que podem ocorrer nesse procedimento?
Passo 2
Para entender melhor, vamos primeiro pensar nos resultados elementares quando registramos a sequência completa das três retiradas (ordem e tipo a cada retirada). Como cada retirada pode ser
ou
e há reposição, o conjunto de todas as sequências possíveis tem
elementos. Podemos listar essas sequências assim:
.
Explicação didática: cada sequência representa o resultado de cada uma das três retiradas em ordem. Como há reposição, cada retirada tem duas opções independentes, assim
.
Passo 3
Agora definimos as variáveis que realmente interessam (o que o enunciado pede que se observe):
- Seja
o número de vacinas do tipo nas três retiradas. - Seja
o número de vacinas do tipo nas três retiradas.
Observação simples e útil: para qualquer realização do experimento vale a relação
porque cada uma das três retiradas é ou
ou
.
Passo 4
Como
e
são números inteiros não negativos que somam
, as possibilidades para
são
. Para cada valor de
o valor de
fica determinado por
. Assim todos os pares possíveis
são:
Didaticamente: estamos reduzindo as
sequências ordenadas aos resultados relevantes (contagens). Várias sequências diferentes podem levar ao mesmo par
— por exemplo
correspondem todas a
.
Passo 5
Para consolidar a ideia, veja como as
sequências se agrupam por contagens:
-
ocorre apenas para a sequência (1 sequência). -
ocorre para ( sequências). -
ocorre para ( sequências). -
ocorre apenas para a sequência (1 sequência).
Em termos combinatórios, o número de sequências que produzem
é
. Isso é útil se depois quiser calcular probabilidades.
Passo 6
Resumo didático final: quando o experimento registra apenas o número de
e o número de
em três retiradas com reposição, o espaço amostral é o conjunto dos pares inteiros não negativos cuja soma é
. Uma forma concisa de escrever isso é