Determine, se possível, uma matriz inversível
tal que
é diagonal nos casos abaixo:
(f)
e
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz invertível
Min M3(R) tal que
seja diagonal, onde
O conteúdo que vamos usar é a diagonalização de matrizes reais, que envolve calcular autovalores (eigenvalues) e autovetores (eigenvectors) de
A .
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A , isto é,
Fazendo a expansão, obtém-se
Passo 3
Do fator
(1-lambda)(lambda+1)^2 concluímos os autovalores:
Passo 4
Encontramos o espaço próprio para
Dessas equações segue , então um autovetor associado é
Passo 5
Para
resolvemos
, isto é,
logo
. Dois vetores independentes que geram esse espaço são
Passo 6
Como temos três autovetores linearmente independentes,
A é diagonalizável. Tomamos
Verifica-se que
det Mneq0 , então
M é invertível, e efetivamente