Determine, se possível, uma matriz inversível M tal que M^-1 A M é diagonal nos casos abaixo:
(f) M in M3(R) e A=(ccc1 & 2 & -2 2 & 1 & -2 2 & 2 & -3).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz invertível Min M3(R) tal que
M^-1 A M
seja diagonal, onde
A = 1 & 2 & -2 2 & 1 & -2 2 & 2 & -3
O conteúdo que vamos usar é a diagonalização de matrizes reais, que envolve calcular autovalores (eigenvalues) e autovetores (eigenvectors) de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A, isto é,
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 2 & -2 2 & 1-lambda & -2 2 & 2 & -3-lambda
Fazendo a expansão, obtém-se
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda+1)^2

Passo 3

Do fator (1-lambda)(lambda+1)^2 concluímos os autovalores:
lambda1 = 1(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2 = lambda3 = -1(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Encontramos o espaço próprio para
Dessas equações segue , então um autovetor associado é

Passo 5

Para resolvemos , isto é,
logo . Dois vetores independentes que geram esse espaço são

Passo 6

Como temos três autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável. Tomamos
M = l[v1;;v2;;v3r] = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1
Verifica-se que det Mneq0, então M é invertível, e efetivamente
M^-1 A M = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

M = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 , M^-1 A M = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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