Dê um exemplo de:
(b) um operador autoadjunto que não é isometria.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de operador linear num espaço com produto interno que seja autoadjunto mas que não preserve norma (isto é, não seja isometria). Vamos trabalhar no caso simples de com o produto interno usual.
Passo 2
Definimos o operador por
ou seja, na forma matricial
que é simplesmente 2I, onde I é a matriz identidade.
Passo 3
Para mostrar que T é autoadjunto, lembramos que o adjunto de um operador dado pela matriz A no produto interno usual é a transposta conjugada A^*. Como A é real e diagonal,
A^* = A^T = A,
logo T^* = T, ou seja, T é autoadjunto.
Passo 4
Para ver que T não é isometria, basta verificar que não preserva norma. Tomando um vetor genérico (x,y)neq(0,0),