Dê um exemplo de:
(b) um operador autoadjunto que não é isometria.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de operador linear num espaço com produto interno que seja autoadjunto mas que não preserve norma (isto é, não seja isometria). Vamos trabalhar no caso simples de R^2 com o produto interno usual.

Passo 2

Definimos o operador Tcolon R^2toR^2 por
T(x,y) = (2x,2y),
ou seja, na forma matricial
A = 2 & 0 0 & 2,
que é simplesmente 2I, onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Para mostrar que T é autoadjunto, lembramos que o adjunto de um operador dado pela matriz A no produto interno usual é a transposta conjugada A^*. Como A é real e diagonal,
A^* = A^T = A,
logo T^* = T, ou seja, T é autoadjunto.

Passo 4

Para ver que T não é isometria, basta verificar que não preserva norma. Tomando um vetor genérico (x,y)neq(0,0),
|T(x,y)| = raiz(2x)^2 + (2y)^2 = 2,raizx^2 + y^2 = 2,|(x,y)| neq |(x,y)|
Assim, T não preserva a norma e, portanto, não é isometria.

Resposta

Um exemplo concreto é o operador Tcolon R^2toR^2 definido por
T(x,y) = (2x,2y)
Ele é autoadjunto (pois a matriz é simétrica) e não é isometria (pois multiplica todas as normas por 2neq1).

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