Seja T in L(R^3) o operador cuja matriz relativa à base canônica C é
(T)C=(ccc 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2 )
Responda aos itens abaixo:
(b) Encontre uma base ortonormal B de R^3 em relação à qual a matriz (T)B é diagonal.

Passo 1

O enunciado dá um operador T em R^3 cuja matriz na base canônica C é
(T)C = 2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2
Como essa matriz é simétrica, pelo Teorema Espectral podemos diagonalizá-la ortogonalmente. Precisamos achar os autovalores e uma base ortonormal de autovetores.

Passo 2

Calculamos os autovalores. Observamos que o bloco na primeira e segunda componentes é
2&22&-1,
e a terceira componente isola o autovalor 2. Para o bloco 2times 2, o polinômio característico é
detl(2-lambda&22&-1-lambdar) =(2-lambda)(-1-lambda)-4 =lambda^2-lambda-6,
cuja raiz dupla dá
lambda=1pm52Longrightarrow lambda1=3, lambda2=-2
Assim, os autovalores de T são
lambda1=3, lambda2=-2, lambda3=2

Passo 3

Agora achamos os autovetores:
Para
daí . Tomamos o vetor .
Para , resolvemos
daí . Tomamos o vetor .
Para , resolvemos
Tomamos .

Passo 4

Normalizamos os autovetores para obter uma base ortonormal:
u1 = 1raiz5(2,1,0), u2 = 1raiz5(1,-2,0), u3 = (0,0,1)
É fácil verificar que u1,u2,u3 é ortonormal e que T(ui)=lambdai ui.

Resposta

A base ortonormal B que diagonaliza T é
B = l tfrac1raiz5(2,1,0),; tfrac1raiz5(1,-2,0),;(0,0,1) r,
e a matriz de T nessa base é
(T)B = 3&0&0 0&-2&0 0&0&2

Exercícios relacionados