Seja A uma matriz triangular, ou seja, uma matriz A=(ai j) tal que ai j=0 sempre que i>j (ou ai j=0 sempre que i<j ). Responda aos itens abaixo:
(b) se B=(bi j) é também uma matriz triangular, com a mesma diagonal principal de A (ou seja, ai i=bi i), mostre que pA(t)=pB(t).

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes triangulares (superiores ou inferiores) de mesma ordem n e que têm exatamente os mesmos elementos na diagonal principal, ou seja, ,aii=bii para todo i. A tarefa é mostrar que os polinômios característicos
pA(t)=det(A - tI) e pB(t)=det(B - tI)
são iguais. Para isso vamos usar a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos da diagonal principal.

Passo 2

Observe que ao formar A - tI subtrai-se t de cada entrada diagonal de A, mas as entradas abaixo (ou acima) da diagonal continuam nulas. Logo, A - tI continua sendo triangular, com diagonal l(a11-t,;a22-t,;dots,;ann-tr). Pela propriedade do determinante de matrizes triangulares, temos
pA(t) =detl(A - tIr) =prodi=1^nl(aii-tr)

Passo 3

De forma idêntica, como B é triangular e bii=aii, a matriz B - tI é triangular com diagonal l(b11-t,dots,bnn-tr) e
pB(t) =detl(B - tIr) =prodi=1^nl(bii-tr) =prodi=1^nl(aii-tr)
Portanto pB(t)=pA(t).

Resposta

Mostramos que
pA(t)=prodi=1^nl(aii-tr) e pB(t)=prodi=1^nl(bii-tr)
com aii=bii. Logo
pA(t)=pB(t)

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