Seja
uma matriz triangular, ou seja, uma matriz
tal que
sempre que
(ou
sempre que
). Responda aos itens abaixo:
(b) se
é também uma matriz triangular, com a mesma diagonal principal de
(ou seja,
, mostre que
.
(b) se
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes triangulares (superiores ou inferiores) de mesma ordem
e que têm exatamente os mesmos elementos na diagonal principal, ou seja,
para todo
. A tarefa é mostrar que os polinômios característicos
são iguais. Para isso vamos usar a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos da diagonal principal.
Passo 2
Observe que ao formar
subtrai-se
de cada entrada diagonal de
, mas as entradas abaixo (ou acima) da diagonal continuam nulas. Logo,
continua sendo triangular, com diagonal
. Pela propriedade do determinante de matrizes triangulares, temos
Passo 3
De forma idêntica, como
é triangular e
, a matriz
é triangular com diagonal
e
Portanto
.
Resposta
Mostramos que
com
. Logo