Dê um exemplo de:
(c) uma isometria que não é um operador autoadjunto.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de isometria — isto é, um operador linear T em um espaço de Hilbert tal que |T x| = |x| para todo x — que não seja autoadjunto, ou seja, que não satisfaça T = T^*.

Passo 2

Definições:
Uma transformação linear T é isometria se, para todos x,
|T x| = |x|
Ela é autoadjunta (ou simétrica, no caso real) se, para todos x,y,
lang<= T x, yrang<= = lang<= x, T yrang<=,
o que equivale a T = T^*.

Passo 3

Escolhemos como exemplo o espaço R^2 com o produto interno usual e definimos T:R^2toR^2 por
T(x,y) = (-y,;x),
isto é, a rotação de 90^circ no sentido anti-horário.

Passo 4

Verificação da isometria:
Seja v=(x,y). Então
|T(v)|^2 = (-y)^2 + x^2 = x^2 + y^2 = |v|^2,
logo |T(v)|=|v| e T é isometria.

Passo 5

Verificação de que T não é autoadjunto:
Tomemos as bases canônicas e1=(1,0) e e2=(0,1). Calculamos
lang<= T(e1),,e2rang<= = lang<= (0,1),,(0,1)rang<= = 1, lang<= e1,,T(e2)rang<= = lang<= (1,0),,(-1,0)rang<= = -1
Como esses dois números são diferentes, não vale lang<= T(e1),e2rang<= = lang<= e1,T(e2)rang<=, logo Tneq T^*.

Resposta

Como exemplo, no espaço R^2 com o produto interno usual, a rotação de 90^circ
T(x,y) = (-y,;x)
é uma isometria que não é autoadjunta.

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