Dê um exemplo de:
(c) uma isometria que não é um operador autoadjunto.
(c) uma isometria que não é um operador autoadjunto.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de isometria — isto é, um operador linear
em um espaço de Hilbert tal que
para todo
— que não seja autoadjunto, ou seja, que não satisfaça
.
Passo 2
Definições:
Uma transformação linear é isometria se, para todos
,
Uma transformação linear
Ela é autoadjunta (ou simétrica, no caso real) se, para todos
,
o que equivale a
.
Passo 3
Escolhemos como exemplo o espaço
com o produto interno usual e definimos
por
isto é, a rotação de
no sentido anti-horário.
Passo 4
Verificação da isometria:
Seja . Então
Seja
logo
e
é isometria.
Passo 5
Verificação de que
não é autoadjunto:
Tomemos as bases canônicas e
. Calculamos
Tomemos as bases canônicas
Como esses dois números são diferentes, não vale
, logo
.
Resposta
Como exemplo, no espaço
com o produto interno usual, a rotação de
é uma isometria que não é autoadjunta.