Dê um exemplo de:
(d) um operador que não possua autovalores.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de operador linear que não tenha autovalores. O conteúdo aqui é o conceito de autovalor (ou valor próprio): para um operador T em um espaço vetorial sobre um corpo (por exemplo R), um escalar lambda é autovalor se existe vetor vneq0 tal que
T(v)=lambda,v
Para não ter autovalores, o determinante det(T-lambda I) não deve se anular para nenhum lambda no corpo considerado.

Passo 2

Considere o operador de rotação de 90^circ no plano real,
TcolonR^2toR^2, Tl(x,yr)=(-y,;x)
Em bases canônicas, a matriz de T é
A= 0 & -1 1 & 0

Passo 3

Buscamos lambda tal que det(A-lambda I)=0. Temos
A-lambda I = -lambda & -1 1 & -lambda ,
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det(A-lambda I) =l(-lambdar)l(-lambdar)-(-1)cdot1 =lambda^2+1
A equação característica fica
lambda^2+1=0
No corpo R não existe lambda real que satisfaça essa equação.

Passo 4

Como não há lambdainR tal que det(A-lambda I)=0, o operador de rotação em 90^circ não possui autovalores no espaço real R^2.

Resposta

Um exemplo é o operador de rotação de 90^circ em R^2, dado por
T(x,y)=(-y,x),
que não tem nenhum autovalor real.

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