Determine, se possível, as matrizes inversas das matrizes abaixo:
[ccc1 & -1 & 0 2 & 1 & 0 1 & -1 & -9]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 1 & -1 & 0 [6pt] 2 & 1 & 0 [6pt] 1 & -1 & -9 !
O conteúdo é “inversa de matriz” e vamos usar eliminação de Gauss–Jordan. Primeiro verificamos se det A neq 0; depois montamos a matriz aumentada [ A mid I ] e aplicamos operações elementares até obter [ I mid A^-1 ].]

Passo 2

Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
det A = 1cdotdet1&0-1&-9 -(-1)cdotdet2&01&-9 +0 =1cdot(-9)-(-1)cdot(-18) =-9-18=-27
Como det A=-27neq0, A é invertível.

Passo 3

Formamos a matriz aumentada e eliminamos abaixo do pivô em ( 1,1):
l[Amid Ir] = 1 & -1 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 &mid& 0 & 1 & 0 1 & -1 & -9&mid& 0 & 0 & 1
Fazemos
R2 R2-2R1, R3 R3-R1
para zerar as entradas ( 2,1) e ( 3,1).

Passo 4

A matriz fica
1 & -1 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 &mid& -2& 1 & 0 0 & 0 & -9&mid& -1& 0 & 1
Escalonamos para obter pivôs iguais a 1 em ( 2,2) e ( 3,3):
R2 tfrac13R2, R3 -tfrac19R3

Passo 5

Agora
1 & -1 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 &mid& -tfrac23& tfrac13& 0 0 & 0 & 1 &mid& tfrac19 & 0 & -tfrac19
Eliminamos a entrada acima do pivô em ( 2,2) com
R1 R1+R2,
as entradas na coluna 3 já estão zeradas acima do pivô ( 3,3).

Passo 6

Após essa operação, a parte esquerda é a identidade e a direita é exatamente A^-1:
l[Imid A^-1r] = 1 & 0 & 0 &mid& tfrac13 & tfrac13 & 0 0 & 1 & 0 &mid& -tfrac23 & tfrac13 & 0 0 & 0 & 1 &mid& tfrac19 & 0 & -tfrac19

Resposta

A^-1 = tfrac13 & tfrac13 & 0[6pt] -tfrac23 & tfrac13 & 0[6pt] tfrac19 & 0 & -tfrac19 ]

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