Determine, se possível, as matrizes inversas das matrizes abaixo:
[cccc2 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & -2 & -1 2 & -1 & 1 & 0 3 & 0 & 3 & 0]

Passo 1

Temos a matriz
A= 2 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & -2 & -1 2 & -1 & 1 & 0 3 & 0 & 3 & 0
e queremos A^-1. Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan no sistema aumentado (Amid I).

Passo 2

Inicialmente,
(Amid I)= [cccc|cccc 2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Fazemos
R1 tfrac12R1, R3 R3-2R1, R4 R4-3R1,
ficando
[cccc|cccc 1 & tfrac12 & -1 & 0 & tfrac12 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 3 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & -tfrac32 & 6 & 0 & -tfrac32 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Para pivotar em coluna 2, trocamos R2rightarrow R3 e depois normalizamos R2 e eliminamos:
R2 -tfrac12R2, R1 R1-tfrac12R2, R4 R4+tfrac32R2
O sistema vira
[cccc|cccc 1 & 0 & -tfrac14 & 0 & tfrac14 & 0 & tfrac14 & 0 0 & 1 & -tfrac32 & 0 & tfrac12 & 0 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & tfrac154 & 0 & -tfrac34 & 0 & -tfrac34 & 1 ]

Passo 4

Agora pivotamos em coluna 3:
R3 -tfrac12R3, R1 R1+tfrac14R3, R2 R2+tfrac32R3, R4 R4-tfrac158R3
Obtém-se
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & tfrac18 & tfrac14 & -tfrac18 & tfrac14 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac34 & tfrac12 & -tfrac34 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac12 & 0 & -tfrac12 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -tfrac158 & -tfrac34 & tfrac158 & -tfrac34 & 1 ]

Passo 5

Por fim, pivotamos em coluna 4:
R4 -tfrac815R4, R1 R1-tfrac18R4, R2 R2-tfrac34R4, R3 R3-tfrac12R4
O bloco esquerdo vira identidade e o direito passa a ser A^-1.

Resposta

A^-1 = tfrac15 & 0 & tfrac15 & tfrac115 tfrac15 & 0 & -tfrac45 & tfrac25 -tfrac15 & 0 & -tfrac15 & tfrac415 tfrac25 & -1 & tfrac25 & -tfrac815

Exercícios relacionados