Determine, se possível, as matrizes inversas das matrizes abaixo:
[ccccc2 & 0 & 0 & 1 & -2 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 2 & 0 & 0 & 1 & -2 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 3
Como A é triangular superior com entradas diagonais não nulas, ela é invertível e A^-1 também é triangular superior. Vamos encontrá-la resolvendo A X = I.

Passo 2

Primeiro determinamos as entradas diagonais de X=(xij) resolvendo, para cada i, a equação da linha i de A,X=I no caso j=i:
2,x11&=1Longrightarrow x11=tfrac12, 1,x22&=1Longrightarrow x22=1, 2,x33&=1Longrightarrow x33=tfrac12, 3,x44&=1Longrightarrow x44=tfrac13, 3,x55&=1Longrightarrow x55=tfrac13

Passo 3

Agora encontramos as únicas entradas não-nulas acima da diagonal:
  1. Linha 4, coluna 5: da equação
3,x45+2,x55=0
vem
3,x45+2l(tfrac13r)=0 Longrightarrow x45=-tfrac29
  1. Linha 2, coluna 5: da equação
x25+x55=0
vem
x25+tfrac13=0 Longrightarrow x25=-tfrac13
  1. Linha 1, coluna 4: da equação
2,x14+1cdot x44=0
vem
2,x14+tfrac13=0 Longrightarrow x14=-tfrac16
  1. Linha 1, coluna 5: da equação
2,x15+1cdot x45-2cdot x55=0
vem
2,x15-tfrac29-2!cdot!tfrac13=0 Longrightarrow 2,x15-tfrac29-tfrac69=0 Longrightarrow x15=tfrac49

Resposta

A^-1 = tfrac12 & 0 & 0 & -tfrac16 & tfrac49 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac13 0 & 0 & tfrac12 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac13 & -tfrac29 0 & 0 & 0 & 0 & tfrac13

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