Determine, se possível, as matrizes inversas das matrizes abaixo:
[cccc-1 & 0 & 0 & 0 4 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & 0 1 & 1 & 3 & -1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = -1 & 0 & 0 & 0 4 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & 0 1 & 1 & 3 & -1
O conteúdo é o de matrizes triangulares. Como A é triangular inferior, podemos usar substituição direta para resolver
A,x = ej, j=1,2,3,4,
e assim obter coluna a coluna de A^-1.

Passo 2

Note que os elementos da diagonal de A são -1,1,3,-1, todos não nulos. Logo det(A)neq 0 e A é invertível. Para cada j tomamos
A,x = ej
e resolvemos por substituição direta de cima para baixo.

Passo 3

Para
Da primeira equação vem é

Passo 4

Para
Daqui
Assim a segunda coluna de (A^{-1}] é

Passo 5

Para j=3 e j=4 de forma análoga:
  • j=3, e3=(0,0,1,0)^T x1=0,;x2=0,;3x3=1Rightarrow x3=tfrac13,;1 - x4=0Rightarrow x4=1, coluna l(0,0,tfrac13,1r)^T.
  • j=4, e4=(0,0,0,1)^T x1=0,;x2=0,;x3=0,;-x4=1Rightarrow x4=-1, coluna l(0,0,0,-1r)^T.

Passo 6

Juntando todas as colunas, obtemos
A^-1 = -1 & 0 & 0 & 0 4 & 1 & 0 & 0 -tfrac43 & -tfrac13 & tfrac13 & 0 -1 & 0 & 1 & -1

Resposta

A^-1 = -1 & 0 & 0 & 0 4 & 1 & 0 & 0 -tfrac43 & -tfrac13 & tfrac13 & 0 -1 & 0 & 1 & -1

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