Determine, se possível, as matrizes inversas das matrizes abaixo:
[cccc2 & 1 & 2 & 1 3 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & -2 & 1 -3 & 2 & 3 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A= 2 & 1 & 2 & 1 3 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & -2 & 1 -3 & 2 & 3 & 1
Vamos usar o método de Gauss-Jordan, ou seja, montar a matriz aumentada [Amid I] e fazer operações de linha para reduzir A à identidade, aplicando as mesmas operações em I.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid I4r]:
[cccc|cccc 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 -3 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Usamos o pivô a11=2:
fazemos R1tfrac12,R1 e depois eliminamos os elementos das outras linhas na coluna 1:
R2R2-3,R1,
R3R3+1,R1,
R4R4+3,R1.
O resultado é
[cccc|cccc 1 & tfrac12 & 1 & tfrac12 & tfrac12 & 0 & 0 & 0 0 & -tfrac32 & -2 & -tfrac12 & -tfrac32 & 1 & 0 & 0 0 & tfrac52 & -1 & tfrac32 & tfrac12 & 0 & 1 & 0 0 & tfrac72 & 6 & tfrac52 & tfrac32 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora pivô em a22=-tfrac32:
R2(-tfrac23),R2 para obter 1, e depois
R1R1-tfrac12,R2,
R3R3-tfrac52,R2,
R4R4-tfrac72,R2.
Fica
[cccc|cccc 1 & 0 & tfrac13 & tfrac13 & 0 & tfrac13 & 0 & 0 0 & 1 & tfrac43 & tfrac13 & 1 & -tfrac23 & 0 & 0 0 & 0 & -tfrac133 & tfrac23 & -2 & tfrac53 & 1 & 0 0 & 0 & tfrac43 & tfrac43 & -2 & tfrac73 & 0 & 1 ]

Passo 5

Pivô em a33=-tfrac133:
R3(-tfrac313),R3,
depois
R1R1-tfrac13,R3,
R2R2-tfrac43,R3,
R4R4-tfrac43,R3.
O sistema vira
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & tfrac513 & -tfrac213 & tfrac613 & tfrac113 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac713 & tfrac513 & -tfrac213 & tfrac413 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac213 & tfrac613 & -tfrac513 & -tfrac313 & 0 0 & 0 & tfrac43 & tfrac43 & -2 & tfrac73 & 0 & 1 ]

Passo 6

Finalmente pivô em a44=tfrac43; fazemos
R4tfrac34,R4 e em seguida
R1R1-tfrac513R4,
R2R2-tfrac713R4,
R3R3+tfrac213R4.
O resultado final é
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & tfrac12 & -tfrac14 & 0 & -tfrac14 0 & 1 & 0 & 0 & tfrac1310 & -tfrac2320 & tfrac15 & -tfrac720 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac15 & -tfrac110 & -tfrac15 & tfrac110 0 & 0 & 0 & 1 & -tfrac1710 & tfrac3720 & tfrac15 & tfrac1320 ]
e o bloco à direita é exatamente A^-1.

Resposta

A^-1 = tfrac12 & -tfrac14 & 0 & -tfrac14 tfrac1310 & -tfrac2320 & tfrac15 & -tfrac720 tfrac15 & -tfrac110 & -tfrac15 & tfrac110 -tfrac1710 & tfrac3720 & tfrac15 & tfrac1320

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