Determine, se possível, os parâmetros
para que os operadores representados pelas seguintes matrizes sejam (i) ortogonais e (ii) auto-adjuntos:
Passo 1
Vamos considerar a matriz
e queremos achar os valores de
(não há
na matriz) tais que ela seja (i) ortogonal e (ii) auto-adjunta.
Passo 2
Definição de operador ortogonal:
é ortogonal se satisfaz
. Primeiro calculamos
Passo 3
Para ter
, igualamos termo a termo:
Passo 4
Da segunda equação vem
a=0 . Substituindo na primeira,
b^2 = 1 , logo
b = pm 1 .
Passo 5
Definição de operador auto-adjunto (matriz simétrica):
A = A^T . Igualamos
Passo 6
Disso obtemos
1 = b e
b = 1 . O valor de
a fica livre.
Passo 7
Não há parâmetro
c na matriz dada, então não há como determinar
c .
Resposta
Para ser ortogonal: a = 0 e b = \pm 1. Para ser auto-adjunta: b = 1 (e a é livre). Não há parâmetro c na matriz.