Determine, se possível, os parâmetros a, b, c para que os operadores representados pelas seguintes matrizes sejam (i) ortogonais e (ii) auto-adjuntos:
lla & 1 b & 0

Passo 1

Vamos considerar a matriz A = a & 1 b & 0 e queremos achar os valores de a, b (não há c na matriz) tais que ela seja (i) ortogonal e (ii) auto-adjunta.

Passo 2

Definição de operador ortogonal: A é ortogonal se satisfaz A^T A = I. Primeiro calculamos
A^T = a & b 1 & 0, A^T A = a & b 1 & 0a & 1 b & 0 = a^2 + b^2 & a a & 1

Passo 3

Para ter A^T A = I = 1 & 0 0 & 1, igualamos termo a termo:
a^2 + b^2 = 1, a = 0, 1 = 1

Passo 4

Da segunda equação vem a=0. Substituindo na primeira, b^2 = 1, logo b = pm 1.

Passo 5

Definição de operador auto-adjunto (matriz simétrica): A = A^T. Igualamos
a & 1 b & 0 = a & b 1 & 0

Passo 6

Disso obtemos 1 = b e b = 1. O valor de a fica livre.

Passo 7

Não há parâmetro c na matriz dada, então não há como determinar c.

Resposta

Para ser ortogonal: a = 0 e b = \pm 1. Para ser auto-adjunta: b = 1 (e a é livre). Não há parâmetro c na matriz.

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