Verifique se cada um dos conjuntos X abaixo gera o espaço E :
;

Passo 1

O enunciado quer verificar se o conjunto X = {2015, 2016x – x², 2017x³, 2018x} gera E = P₃(ℝ), ou seja, se Span(X) = P₃(ℝ). Como dim
P₃(ℝ) = 4 e temos 4 polinômios, basta checar se eles são linearmente independentes.

Passo 2

Para isso, escolhemos a base canônica B = {1, x, x², x³} de P₃(ℝ) e escrevemos cada polinômio de X em coordenadas nessa base. Isso dá os vetores: 2015 ↦ (2015,0,0,0), 2016x–x² ↦ (0,2016,−1,0), 2017x³ ↦ (0,0,0,2017), 2018x ↦ (0,2018,0,0).

Passo 3

Montamos a matriz A cujas colunas são esses vetores de coordenadas:
[2015 0 0 0;
0 2016 0 2018;
0 −1 0 0;
0 0 2017 0]. Para ver se os vetores são independentes, calculamos det
A.

Passo 4

Fazendo expansão de Laplace na primeira linha, encontra-se
det A = 2015 cdot det2016 & 0 & 2018 -1 & 0 & 0 0 & 2017 & 0 = 2015 cdot (-2018 cdot 2017) neq 0 Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Logo dim
Span(X) = 4 = dim
P₃(ℝ), isto é, X é um conjunto gerador (na verdade base) de E.

Resposta

Sim. O determinante associado é não nulo, então X gera E = P₃(ℝ).

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