Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^2. Justifique as suas respostas.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto H=(x,y)in R^2mid y<=1 é um subespaço vetorial de R^2. O conteúdo envolve o teste de subespaço vetorial, que exige verificar: presença do vetor zero, fechamento sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero: o vetor zero de R^2 é (0,0). Como 0<=1, temos (0,0)in H.

Passo 3

Testamos o fechamento sob adição: tomemos por exemplo u=(0,1) e v=(0,1), ambos em H pois 1<=1. A soma é u+v=(0,2), mas , logo 2n<=1.

Passo 4

Testamos o fechamento sob multiplicação por escalar: seja w=(0,1)in H e alpha=2. Temos alpha w=(0,2), mas , logo 2n<=1.

Resposta

O conjunto H não é subespaço vetorial de R^2, pois não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar.

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