Determine, se possível, os parâmetros
para que os operadores representados pelas seguintes matrizes sejam (i) ortogonais e (ii) auto-adjuntos:
Passo 1
Temos a matriz
e queremos encontrar
de modo que
seja (i) ortogonal e (ii) auto-adjunta. Para isso vamos usar as definições de matriz ortogonal (
) e de matriz auto-adjunta (
).
Passo 2
Para que
seja ortogonal impomos
. Primeiro calculemos
:
Igualando à matriz identidade obtemos as equações:
,
e
.
Passo 3
Da terceira equação vem
, ou seja
. Substituindo em
dá
. Por fim, de
obtemos
, logo
. Assim para (i) temos
,
,
.
Passo 4
Agora para
ser auto-adjunta basta
, isto é, os elementos fora da diagonal devem coincidir. Como
e
, isso exige
, sem restrição sobre
e
. Portanto para (ii) temos
e
arbitrários reais.
Resposta
(i)
. (ii)
e
.