Determine, se possível, os parâmetros a, b, c para que os operadores representados pelas seguintes matrizes sejam (i) ortogonais e (ii) auto-adjuntos:
lla & 1 b & c

Passo 1

Temos a matriz A=a & 1 b & c e queremos encontrar a,b,c de modo que A seja (i) ortogonal e (ii) auto-adjunta. Para isso vamos usar as definições de matriz ortogonal ( A^T A=I) e de matriz auto-adjunta ( A=A^T).

Passo 2

Para que A seja ortogonal impomos A^T A=I. Primeiro calculemos A^T A:
A^T A=a & b1 & ca & 1b & c=a^2+b^2 & a+bca+bc & 1+c^2
Igualando à matriz identidade obtemos as equações:
a^2+b^2=1, a+bc=0 e 1+c^2=1.

Passo 3

Da terceira equação vem c^2=0, ou seja c=0. Substituindo em a+bc=0 a=0. Por fim, de a^2+b^2=1 obtemos b^2=1, logo b=pm1. Assim para (i) temos
a=0, b=pm1, c=0.

Passo 4

Agora para A ser auto-adjunta basta A=A^T, isto é, os elementos fora da diagonal devem coincidir. Como A12=1 e A21=b, isso exige b=1, sem restrição sobre a e c. Portanto para (ii) temos b=1 e a,c arbitrários reais.

Resposta

(i) a=0, b=pm1, c=0. (ii) b=1 e a,cinR.

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