Verifique se cada um dos conjuntos
abaixo gera o espaço
:
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto X = {1, x, x² − 1} gera o espaço E = P₂(ℝ), ou seja, se todo polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como combinação linear dos elementos de X. Vamos usar o conceito de gerador de espaço vetorial e a ideia de escrever um polinômio arbitrário em termos dos vetores de X.
Passo 2
Seja um polinômio genérico em E:
onde a, b, c ∈ ℝ. Queremos encontrar escalares λ₁, λ₂, λ₃ tais que:
Passo 3
Expandindo o lado esquerdo:
Para que isso seja igual a a x² + b x + c, igualamos coeficientes:
Passo 4
Da última equação vem λ₁ = c + λ₃ = c + a. Portanto, para quaisquer a, b, c podemos escolher:
de modo a obter p(x). Assim, todo polinômio de grau ≤ 2 é combinação linear de 1, x e x² − 1. Não precisamos nem checar independência linear aqui, pois encontramos expressões para quaisquer coeficientes a, b, c.
Passo 5
Concluímos que o span de X é todo P₂(ℝ), ou seja, X gera E.
Resposta
Sim. O conjunto X = {1, x, x² − 1} gera o espaço E = P₂(ℝ).