Verifique se cada um dos conjuntos X abaixo gera o espaço E :
;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto X = {1, x, x² − 1} gera o espaço E = P₂(ℝ), ou seja, se todo polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como combinação linear dos elementos de X. Vamos usar o conceito de gerador de espaço vetorial e a ideia de escrever um polinômio arbitrário em termos dos vetores de X.

Passo 2

Seja um polinômio genérico em E:
p(x) = a x² + b x + c, ²
onde a, b, c ∈ ℝ. Queremos encontrar escalares λ₁, λ₂, λ₃ tais que:
λ₁·1 + λ₂·x + λ₃·(x²−1) = p(x) ²

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo:
λ₁ + λ₂ x + λ₃ x² − λ₃ = λ₃ x² + λ₂ x + (λ₁ − λ₃) ²²
Para que isso seja igual a a x² + b x + c, igualamos coeficientes:
λ₃ = a, λ₂ = b, λ₁ − λ₃ = c

Passo 4

Da última equação vem λ₁ = c + λ₃ = c + a. Portanto, para quaisquer a, b, c podemos escolher:
λ₁ = a + c, λ₂ = b, λ₃ = a,
de modo a obter p(x). Assim, todo polinômio de grau ≤ 2 é combinação linear de 1, x e x² − 1. Não precisamos nem checar independência linear aqui, pois encontramos expressões para quaisquer coeficientes a, b, c.

Passo 5

Concluímos que o span de X é todo P₂(ℝ), ou seja, X gera E.

Resposta

Sim. O conjunto X = {1, x, x² − 1} gera o espaço E = P₂(ℝ).

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