Determine, se possível, os parâmetros a, b, c para que os operadores representados pelas seguintes matrizes sejam (i) ortogonais e (ii) auto-adjuntos:
llla & b & b 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de a,b (não há c na matriz dada) tais que o operador representado por
A=a & b & b0 & 1 & 00 & 0 & 1
seja (i) ortogonal e (ii) auto-adjunto. Vamos usar propriedades de matrizes ortogonais e simétricas.

Passo 2

Para (i) ortogonalidade, lembramos que um operador é ortogonal se e somente se
A^T A = I
Calculamos
A^T=a & 0 & 0b & 1 & 0b & 0 & 1,
e então
A^T A=a^2 & ab & abab & b^2+1 & b^2ab & b^2 & b^2+1
Igualando a I3, temos as equações
a) a^2=1,
b) ab=0,
c) b^2+1=1 e
.

Passo 3

Resolvendo esse sistema, da equação (d) vem b=0. Então (b) fica trivial e (a) dá a=pm1.

Passo 4

Para (ii) auto-adjunção, basta exigir A=A^T, o que obriga os elementos acima da diagonal iguais aos de baixo. Da igualdade dos elementos (1,2) e (2,1) e dos (1,3) e (3,1) vem imediatamente b=0. Não há outra restrição em a.

Resposta

(i) Ortogonal se e somente se a=pm1 e b=0. (ii) Auto-adjunto se e somente se b=0 (e qualquer ain R).

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