Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
. Justifique as suas respostas.
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto A = { (x,y,z) ∈
| x = 4y e z = 0 } é subespaço vetorial de
. Vamos usar a definição: A é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a A. Basta checar as condições: x = 0 = 4·0 e z = 0. Logo
∈ A.
Passo 3
Analisamos a adição. Se tomamos v = (4y₁,y₁,0) e w = (4y₂,y₂,0) em A (pois satisfazem x=4y e z=0), então
e assim v+w também satisfaz x = 4·(y₁+y₂) e z = 0, ou seja, v+w ∈ A.
Passo 4
Agora verificamos a multiplicação por escalar. Seja c ∈
e v = (4y,y,0) ∈ A. Então
o que satisfaz x = 4·(cy) e z = 0. Portanto c·v ∈ A.
Resposta
O conjunto A é subespaço vetorial de
; na verdade, ele é a reta que passa pela origem gerada pelo vetor (4,1,0).