Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^3. Justifique as suas respostas.
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Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto A = { (x,y,z) ∈ R^3 | x = 4y e z = 0 } é subespaço vetorial de R^3. Vamos usar a definição: A é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a A. Basta checar as condições: x = 0 = 4·0 e z = 0. Logo (0,0,0) ∈ A.

Passo 3

Analisamos a adição. Se tomamos v = (4y₁,y₁,0) e w = (4y₂,y₂,0) em A (pois satisfazem x=4y e z=0), então
v + w = (4y₁ + 4y₂,; y₁ + y₂,; 0 + 0) = (4(y₁ + y₂),; y₁ + y₂,; 0),
e assim v+w também satisfaz x = 4·(y₁+y₂) e z = 0, ou seja, v+w ∈ A.

Passo 4

Agora verificamos a multiplicação por escalar. Seja c ∈ R e v = (4y,y,0) ∈ A. Então
c·v = (c·4y,; c·y,; c·0) = (4(cy),; cy,; 0),
o que satisfaz x = 4·(cy) e z = 0. Portanto c·v ∈ A.

Resposta

O conjunto A é subespaço vetorial de R^3; na verdade, ele é a reta que passa pela origem gerada pelo vetor (4,1,0).

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