Use o método das cascas cilíndricas, encontre o volume do solido descrito.
uma pirâmide de base quadrada com lado L e cuja altura é h

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma pirâmide de base quadrada de lado L e altura h, usando o método das cascas cilíndricas (conteúdo de Cálculo II: volumes por cascas). Vamos colocar a base no plano z=0 e o vértice no plano z=h, usando coordenadas cilíndricas (r,theta,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, cada casca cilíndrica está a uma distância r do eixo Oz, tem espessura dr e comprimento lateral r,dtheta. Precisamos achar a altura máxima dessa casca, isto é, a função zmax(r,theta) que vai desde z=0 até a superfície lateral da pirâmide.

Passo 3

As quatro faces laterais são dadas, em retas projetadas no plano xy, pelos planos de equação x=tfrac L2l(1-tfrac zhr) ou y=tfrac L2l(1-tfrac zhr), etc. Em cada quadrante angular de largura tfracpi2, a face ativa é aquela cujas normais têm ângulo theta=0,tfracpi2,pi,tfrac3pi2. Por simetria, basta tomar um quadrante, por exemplo -tfracpi4<=theta<=tfracpi4, em que a face é x=tfrac L2(1-tfrac zh). Desse plano isolamos
zmax(r,theta)=hl(1-2rcosthetaLr), -tfracpi4<=theta<=tfracpi4,;0<= r<=L2costheta

Passo 4

O volume pelo método das cascas fica então, somando os quatro quadrantes idênticos:
V=4integral-pi4^pi4integral0^L2costhetal[zmax(r,theta)r];l[r,drr],dtheta

Passo 5

Substituindo zmax e tirando h para fora, calcula-se o integral interno em r:
integral0^L/(2costheta)!hl(1-tfrac2rcosthetaLr)r,dr = hL^224cos^2theta

Passo 6

Logo
V=4hintegral-pi4^pi4L^224cos^2theta,dtheta =hL^26integral-pi4^pi4sec^2theta,dtheta =hL^26l[tanthetar]-pi4^pi4 =hL^26(1-(-1)) =hL^23

Resposta

V=13,L^2,h

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