Use o método das cascas cilíndricas, encontre o volume do solido descrito.
uma pirâmide de base quadrada com lado
e cuja altura é
uma pirâmide de base quadrada com lado
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma pirâmide de base quadrada de lado
e altura
, usando o método das cascas cilíndricas (conteúdo de Cálculo II: volumes por cascas). Vamos colocar a base no plano
e o vértice no plano
, usando coordenadas cilíndricas
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, cada casca cilíndrica está a uma distância
do eixo
, tem espessura
e comprimento lateral
. Precisamos achar a altura máxima dessa casca, isto é, a função
que vai desde
até a superfície lateral da pirâmide.
Passo 3
As quatro faces laterais são dadas, em retas projetadas no plano
, pelos planos de equação
ou
, etc. Em cada quadrante angular de largura
, a face ativa é aquela cujas normais têm ângulo
. Por simetria, basta tomar um quadrante, por exemplo
, em que a face é
. Desse plano isolamos
Passo 4
O volume pelo método das cascas fica então, somando os quatro quadrantes idênticos:
Passo 5
Substituindo
e tirando
para fora, calcula-se o integral interno em
:
Passo 6
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