Determine, se possível, o valor de x para que a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 x & 1 \\\ x^{2} & 0 & -x \\\ x+1 & x^{3} & 0\end{array}\right] seja:
antissimétrica

Passo 1

O enunciado pede o valor de x para que a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 2x & 1 \\[6pt] x^{2} & 0 & -x \\[3pt] x+1 & x^{3} & 0 \end{pmatrix}
seja antissimétrica. Uma matriz real A é antissimétrica se e só se A^{T} = -A. Isso implica duas condições principais:
  1. Todos os elementos da diagonal principal devem ser zero (já satisfatório aqui).
  2. Para i\neq j, vale a_{ij} = -\,a_{ji}.]

Passo 2

Aplicando a_{12} = -\,a_{21}:
2x = -\bigl(x^{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(x+2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \;\text{ou}\; x = -2.

Passo 3

Aplicando a_{13} = -\,a_{31}:
1 = -\bigl(x+1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x + 1 = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.

Passo 4

Aplicando a_{23} = -\,a_{32}:
-\,x = -\bigl(x^{3}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x^{3} = x \quad\Longrightarrow\quad x\,(x^{2} - 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,\;x = 1\;\text{ou}\;x = -1.

Passo 5

Agora juntamos as três condições:
  • De a_{12}=-a_{21}: x = 0 ou x = -2.
  • De a_{13}=-a_{31}: x = -2.
  • De a_{23}=-a_{32}: x = 0, 1 ou -1.
O único candidato comum às três é x = -2 (das duas primeiras), mas ele não satisfaz a terceira (pois -2\notin\{0,1,-1\}). Também x=0 falha na segunda condição. Logo não há valor de x que satisfaça simultaneamente todas as relações necessárias.

Resposta

Não existe valor de x que torne A antissimétrica.

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