Usando as operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
D=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
D = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
é invertível usando operações elementares sobre linhas e, se for, calcular D^{-1}. Vamos formar a matriz aumentada [D\mid I] e aplicar eliminação de Gauss‐Jordan até obter [I\mid D^{-1}].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada:
\left[D\mid I\right] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \vline & 1 & 0 \\\\ 3 & 4 & \vline & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Zeramos o elemento abaixo do pivô da primeira coluna usando \mathrm{L}_2 \leftarrow \mathrm{L}_2 - 3\,\mathrm{L}_1:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & \vline & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & \vline & -3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Escalamos a segunda linha para tornar o pivô igual a 1: \mathrm{L}_2 \leftarrow -\tfrac12\,\mathrm{L}_2:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & \vline & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & \vline & \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 5

Zeramos o elemento acima do pivô da segunda coluna: \mathrm{L}_1 \leftarrow \mathrm{L}_1 - 2\,\mathrm{L}_2:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \vline & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & \vline & \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.
Agora a parte esquerda é a matriz identidade, logo D é invertível e a parte direita é D^{-1}.

Resposta

D é invertível e
D^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\[6pt] \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.]

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