Utilizando a interpretação geométrica associada a uma EDO de primeira ordem, determine as trajetórias ortogonais da família de círculos t^2+y^2=c1, c1>0.

Passo 1

O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de círculos
t^2+y^2=c1, c1>0
O conteúdo é EDO de primeira ordem e ortogonalidade de famílias de curvas. Vamos usar:
  1. diferenciação implícita para obter a inclinação y' da família dada;
  2. a condição de ortogonalidade, que exige produto das inclinações igual a -1;
  3. resolução da EDO resultante para encontrar as curvas ortogonais.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a t obtemos
ddt(t^2+y^2)=0 Longrightarrow 2t+2y,y'=0 Longrightarrow y'=-ty
Aqui y'=tfracdydt é a inclinação da família de círculos.

Passo 3

Para que outra curva seja ortogonal, sua inclinação y'o deve satisfazer
y'cdot y'o=-1 Longrightarrow -tycdot y'o=-1 Longrightarrow y'o=yt
Então as trajetórias ortogonais resolvem a EDO
dydt=yt

Passo 4

A EDO tfracdydt=tfracyt é separável:
dyy=dtt
Integrando ambos os lados,
ln|y|=ln|t|+K Longrightarrow ln|y|-ln|t|=K Longrightarrow lnl|ytr|=K
Logo
yt=C2,
onde C2=e^K é constante de integração.

Passo 5

Da relação tfracyt=C2 segue
y=C2,t,
isto é, as trajetórias ortogonais são retas passando pela origem.

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas por
y=C2,t, C2inR

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