Utilizando a interpretação geométrica associada a uma EDO de primeira ordem, determine as trajetórias ortogonais da família de círculos
.
Passo 1
O enunciado pede as trajetórias ortogonais da família de círculos
O conteúdo é EDO de primeira ordem e ortogonalidade de famílias de curvas. Vamos usar:
- diferenciação implícita para obter a inclinação
da família dada; - a condição de ortogonalidade, que exige produto das inclinações igual a
; - resolução da EDO resultante para encontrar as curvas ortogonais.
Passo 2
Diferenciando implicitamente em relação a
obtemos
Aqui
é a inclinação da família de círculos.
Passo 3
Para que outra curva seja ortogonal, sua inclinação
deve satisfazer
Então as trajetórias ortogonais resolvem a EDO
Passo 4
A EDO
é separável:
Integrando ambos os lados,
Logo
onde
C2=e^K é constante de integração.
Passo 5
Da relação
tfracyt=C2 segue
isto é, as trajetórias ortogonais são retas passando pela origem.
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas por