Determine o posto da matriz A de acordo com o valor do parâmetro lambda
(ccc 1 & 1 & 1 1 & lambda & 2 1 & lambda^2 & 4 )
Resp.: Posto A=3 se lambda neq 1 e lambda neq 2.
Posto A=2 se lambda=2 ou lambda=1.

Passo 1

O enunciado pede o posto da matriz
A= 1 & 1 & 1 1 & lambda & 2 1 & lambda^2 & 4
em função de lambda. Para decidir se o posto é 3 ou menor, a ideia é calcular o determinante de A (pois posto(A)=3 se e só se det(A)neq0) e, nos casos em que det(A)=0, verificar se existem menores de ordem 2 não-nulos (o que implica posto 2).

Passo 2

Vamos calcular det(A). Subtraindo a primeira linha das segunda e terceira linhas, obtemos linhas equivalentes
R2'=(0,;lambda-1,;1), R3'=(0,;lambda^2-1,;3)
O determinante então vale
det(A) =;1cdot det lambda-1 & 1 lambda^2-1 & 3 =1l[(lambda-1)cdot3 -1cdot(lambda^2-1)r] =-(lambda-1)(lambda-2)
Logo
det(A)=-(lambda-1)(lambda-2),
que é diferente de zero sempre que lambdaneq1 e lambdaneq2. Portanto, se lambdaneq1,2, o posto de A é 3.

Passo 3

No caso lambda=1, a matriz fica
A= 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 1 & 1 & 4
Aqui det(A)=0. Para ver se o posto é 2, basta encontrar algum menor 2times2 não nulo. Por exemplo, as linhas 1 e 2 e colunas 1 e 2 formam o menor
1 & 1 1 & 1 =1cdot1-1cdot1=0,
que é nulo, mas as linhas 2 e 3 e colunas 2 e 3 formam
1 & 2 1 & 4 =1cdot4-2cdot1=2neq0
Logo há um menor de ordem 2 não nulo, implicando que posto(A)=2 quando lambda=1.

Passo 4

No caso lambda=2, a matriz é
A= 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 4 & 4 ,
novamente com det(A)=0. De novo verificamos um menor 2times2 não nulo, por exemplo linhas 1 e 2, colunas 1 e 2:
1 & 1 1 & 2 =1cdot2-1cdot1=1neq0
Isso também dá posto(A)=2 quando lambda=2.

Resposta

O posto de A é 3 se lambdaneq1 e lambdaneq2, e é 2 se lambda=1 ou lambda=2.

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