Seja o sistema de equações lineares
c x+y+2 z=2 2 x+y+z=0 4 x+3 y+5 z=4
i. Verifique se o sistema é possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
ii. Caso seja possível ache a solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x+y+2z=2, 2x+y+z=0, 4x+3y+5z=4,
e pede (i) a classificação do sistema (possível determinado, possível indeterminado ou impossível) e (ii) a solução quando ela existir. Vamos usar conceitos de determinante, posto da matriz e eliminação de Gauss para resolver.

Passo 2

Primeiro calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & 2 2 & 1 & 1 4 & 3 & 5
Usando expansão pela primeira linha,
det(A) =1cdot1 & 13 & 5 -1cdot2 & 14 & 5 +2cdot2 & 14 & 3
Calculando os menores:
1 & 13 & 5=1cdot5-1cdot3=2, 2 & 14 & 5=2cdot5-1cdot4=6, 2 & 14 & 3=2cdot3-1cdot4=2
Logo
det(A)=1cdot2 - 1cdot6 + 2cdot2 = 2 - 6 + 4 = 0
Como det(A)=0, o sistema não é possível determinado (não há solução única).

Passo 3

Para distinguir entre sistema impossível e possível indeterminado, verificamos a consistência. Aplicamos eliminação de Gauss em duas das equações:
Subtraindo 2 vezes a primeira equação da segunda, obtemos
(2x+y+z)-2(x+y+2z)=0-2cdot2 ;Longrightarrow;-y-3z=-4 ;Longrightarrow;y+3z=4
Da primeira equação temos
x = 2 - y - 2z
Substituindo y=4-3z em x=2-y-2z,
x = 2 - (4-3z) - 2z = -2 + z
Por fim, testamos a terceira equação com x=-2+z e y=4-3z:
4(-2+z)+3(4-3z)+5z = -8+4z+12-9z+5z =4+0cdot z =4,
o que coincide com o lado direito. Não há contradição, logo o sistema é consistente. Isso implica que o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada são iguais a 2, ambos menores que 3. Portanto é um sistema possível indeterminado (infinitas soluções).

Passo 4

Como encontramos
x=-2+z, y=4-3z, z livre,
podemos introduzir o parâmetro tinR tal que z=t. Assim a solução geral é
(x,y,z)=(-2+t,;4-3t,;t), tinR

Resposta

O sistema é possível indeterminado e sua solução geral é
(x,y,z)=(-2+t,;4-3t,;t), tinR

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