Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\\ 1 & 1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o posto e a nulidade da matriz dada. Informações fornecidas:
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & 4\end{pmatrix}.
Observações imediatas que servem para organizar a solução:
  • A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas.
  • O que se pede:
    • o posto de A (dimensão do espaço gerado pelas colunas, ou equivalentemente pelas linhas);
    • a nulidade de A (dimensão do núcleo \ker A, ou seja, número de graus de liberdade das soluções de A\mathbf{x}=\mathbf{0}).]

Passo 2

Conceitos importantes (curta “aula” para usar na prova):
  • O posto de uma matriz A, denotado \operatorname{rank}(A) ou simplesmente “posto”, é o número de colunas linearmente independentes (ou o número de pivôs na forma escalonada). Outra maneira: é a dimensão da imagem \operatorname{Im} A.
  • A nulidade de A, \dim\ker A, é a dimensão do conjunto de vetores \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 que satisfazem A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
  • Teorema fundamental (teorema do posto-nulidade): para uma matriz com n colunas vale
\dim\ker A + \operatorname{rank}(A) = n.
Aqui n=3. Vou calcular o posto por eliminação (contando pivôs) e confirmar a nulidade resolvendo A\mathbf{x}=\mathbf{0}.

Passo 3

Aplicar eliminação por linhas para encontrar pivôs. Escrevo A e faço a operação \text{R}_2\leftarrow \text{R}_2-\text{R}_1:
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & 4\end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Detalhe das contas: \text{R}_2-\text{R}_1=(1-1,\;1-0,\;4-2)=(0,1,2).]

Passo 4

Interpretando a matriz escalonada \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}:
  • Há um pivô na coluna 1 (linha 1) e um pivô na coluna 2 (linha 2).
  • Não há pivô na coluna 3.
    Portanto o número de pivôs é 2. Logo
\operatorname{rank}(A)=2.
Isto significa que as colunas de A geram um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^2 (ou, mais precisamente, as colunas de A são linearmente dependentes mas geram um espaço de dimensão 2).

Passo 5

Agora encontro a nulidade resolvendo A\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Escrevo \(\mathbf{x}=(x,y,z)^{T}\) e uso a forma escalonada: as equações são \[\begin{cases} x + 0\cdot y + 2z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + y + 2z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=-2z\]. Da segunda vem \(y=-2z. Tomando o parâmetro livre z=t\in\mathbb{R} obtém-se
\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Assim o espaço nulo é uma reta unidimensional gerada por \begin{pmatrix}-2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}, logo
\dim\ker A = 1.]

Passo 6

Verificação com o teorema do posto-nulidade: como n=3 e \operatorname{rank}(A)=2, então
\dim\ker A = 3-2=1,
coerente com a solução encontrada. Ânimo: deu certinho!

Resposta

\operatorname{posto}(A)=2
\mathrm{nulidade}(A)=1

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