Observações imediatas que servem para organizar a solução:
A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas.
O que se pede:
o posto de A (dimensão do espaço gerado pelas colunas, ou equivalentemente pelas linhas);
a nulidade de A (dimensão do núcleo \ker A, ou seja, número de graus de liberdade das soluções de A\mathbf{x}=\mathbf{0}).]
Passo 2
Conceitos importantes (curta “aula” para usar na prova):
O posto de uma matriz A, denotado \operatorname{rank}(A) ou simplesmente “posto”, é o número de colunas linearmente independentes (ou o número de pivôs na forma escalonada). Outra maneira: é a dimensão da imagem \operatorname{Im} A.
A nulidade de A, \dim\ker A, é a dimensão do conjunto de vetores \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 que satisfazem A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Teorema fundamental (teorema do posto-nulidade): para uma matriz com n colunas vale
\dim\ker A + \operatorname{rank}(A) = n.
Aqui n=3. Vou calcular o posto por eliminação (contando pivôs) e confirmar a nulidade resolvendo A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Passo 3
Aplicar eliminação por linhas para encontrar pivôs. Escrevo A e faço a operação \text{R}_2\leftarrow \text{R}_2-\text{R}_1:
Há um pivô na coluna 1 (linha 1) e um pivô na coluna 2 (linha 2).
Não há pivô na coluna 3.
Portanto o número de pivôs é 2. Logo
\operatorname{rank}(A)=2.
Isto significa que as colunas de A geram um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^2 (ou, mais precisamente, as colunas de A são linearmente dependentes mas geram um espaço de dimensão 2).
Passo 5
Agora encontro a nulidade resolvendo A\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Escrevo \(\mathbf{x}=(x,y,z)^{T}\) e uso a forma escalonada:
as equações são
\[\begin{cases} x + 0\cdot y + 2z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + y + 2z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=-2z\]. Da segunda vem \(y=-2z. Tomando o parâmetro livre z=t\in\mathbb{R} obtém-se