Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada 3\times3
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}
e pede duas coisas: determinar o posto (dimensão do espaço gerado pelas colunas, ou número de pivôs na eliminação) e a nulidade (dimensão do núcleo, isto é, o número de soluções livres do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}). Vou trabalhar com eliminação de linhas para achar o posto; depois uso o teorema do posto-nulidade para achar a nulidade.]

Passo 2

Rápida recapitulada de conceitos (para eu te ensinar a usar isso na prova):
  • Definição de posto: o posto de uma matriz A, escrito \operatorname{rank}(A), é a dimensão do subespaço gerado por suas colunas (ou pelas suas linhas). Na prática, na eliminação de Gauss conta-se o número de linhas não nulas (pivôs) na forma escalonada — esse número é o posto.
  • Definição de nulidade: a nulidade de A, escrita \operatorname{nullity}(A), é a dimensão do espaço solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0}. Pelo teorema da dimensão (rank–nullity) para uma matriz com n colunas vale
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n.
Aqui n=3. Assim, se eu encontrar \operatorname{rank}(A), então \operatorname{nullity}(A)=3-\operatorname{rank}(A).
  • Método prático: aplicar operações elementares por linhas (que não mudam o espaço gerado pelas linhas e mantêm o posto) para levar A a uma forma escalonada; os pivôs visíveis indicam o posto.

Passo 3

Começo a eliminação aplicando operações por linhas. Escrevo a matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Quero zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que está em (1,1)). Faço:
  • R_2 \leftarrow R_2-2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3-R_1.
Calculo cada linha nova:
  • R_2-2R_1=(2,1,1)-2(1,1,0)=(2,1,1)-(2,2,0)=(0,-1,1).
  • R_3-R_1=(1,1,1)-(1,1,0)=(0,0,1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora a matriz já está em forma quase escalonada: há um pivô em (1,1). Observe as linhas 2 e 3:
  • A segunda linha tem primeiro elemento não nulo em coluna 2 -1), então há um pivô na coluna 2.
  • A terceira linha tem primeiro elemento não nulo em coluna 3 1), então há um pivô na coluna 3.
Se quiser posso deixar pivôs positivos, por exemplo R_2\leftarrow -R_2, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Mas isso é só estética; o ponto importante é que existem pivôs nas três colunas 1, 2 e 3.
Conclusão imediata da eliminação: há 3 pivôs, logo \operatorname{rank}(A)=3.]

Passo 5

Interpretação final e nulidade:
  • Como \operatorname{rank}(A)=3 e o número de colunas é n=3, pelo teorema rank–nullity
\operatorname{nullity}(A)=n-\operatorname{rank}(A)=3-3=0.
Isto significa que o núcleo de A contém apenas a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}: A é injetora como transformação linear \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e, sendo quadrada de posto completo, é invertível.
Se quiser um cheque rápido: o determinante de A também confirma isso; calculando
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}-1\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}+0\cdot(\cdots) =1\cdot(1\cdot1-1\cdot1)-1\cdot(2\cdot1-1\cdot1)=0-(2-1)=-1\neq0,
portanto \det(A)\neq0, consistente com \operatorname{rank}(A)=3 e \operatorname{nullity}(A)=0.]

Resposta

\operatorname{rank}(A)=3
\operatorname{nullity}(A)=0

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