e pede duas coisas: determinar o posto (dimensão do espaço gerado pelas colunas, ou número de pivôs na eliminação) e a nulidade (dimensão do núcleo, isto é, o número de soluções livres do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}). Vou trabalhar com eliminação de linhas para achar o posto; depois uso o teorema do posto-nulidade para achar a nulidade.]
Passo 2
Rápida recapitulada de conceitos (para eu te ensinar a usar isso na prova):
Definição de posto: o posto de uma matriz A, escrito \operatorname{rank}(A), é a dimensão do subespaço gerado por suas colunas (ou pelas suas linhas). Na prática, na eliminação de Gauss conta-se o número de linhas não nulas (pivôs) na forma escalonada — esse número é o posto.
Definição de nulidade: a nulidade de A, escrita \operatorname{nullity}(A), é a dimensão do espaço solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0}. Pelo teorema da dimensão (rank–nullity) para uma matriz com n colunas vale
Aqui n=3. Assim, se eu encontrar \operatorname{rank}(A), então \operatorname{nullity}(A)=3-\operatorname{rank}(A).
Método prático: aplicar operações elementares por linhas (que não mudam o espaço gerado pelas linhas e mantêm o posto) para levar A a uma forma escalonada; os pivôs visíveis indicam o posto.
Passo 3
Começo a eliminação aplicando operações por linhas. Escrevo a matriz inicial:
Isto significa que o núcleo de A contém apenas a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}: A é injetora como transformação linear \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e, sendo quadrada de posto completo, é invertível.
Se quiser um cheque rápido: o determinante de A também confirma isso; calculando