Determine o potencial a uma distância x sobre o eixo de um disco uniformemente carregado. (Vai ser clássico assim …)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o potencial elétrico a uma distância x sobre o eixo de um disco uniformemente carregado. Aqui, estamos trabalhando com eletrostática, que é a parte da física que estuda cargas elétricas em repouso e os campos e potenciais que elas geram. Para resolver isso, vamos precisar integrar as contribuições de pequenas partes do disco para encontrar o potencial total no ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas coisas. Suponha que o disco tenha um raio R e uma densidade de carga superficial uniforme sigma (carga por unidade de área). Queremos encontrar o potencial elétrico V em um ponto P que está a uma distância x ao longo do eixo perpendicular ao centro do disco.

Passo 3

Lembre-se que o potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
V = 14piepsilon0 cdot dqr
Onde:
  • dq é uma pequena quantidade de carga,
  • r é a distância entre a carga dq e o ponto P,
  • epsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Para um disco, vamos considerar anéis concêntricos de raio r e espessura dr. A carga dq de um anel é:
dq = sigma cdot dA = sigma cdot 2pi r , dr
Aqui, dA = 2pi r , dr é a área do anel.

Passo 5

A distância r entre um ponto no anel e o ponto P é o mesmo para todo o anel e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
r = raizx^2 + r^2
Mas na verdade, isso está incorreto. A distância correta entre um elemento do anel e o ponto P é raizx^2 + r^2.

Passo 6

Agora, substituímos dq e r na expressão do potencial:
dV = 14piepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r , drraizx^2 + r^2
Simplificando:
dV = sigma2epsilon0 cdot r , drraizx^2 + r^2

Passo 7

Para encontrar o potencial total V, integramos dV de r = 0 até r = R:
V = integral0^R sigma2epsilon0 cdot r , drraizx^2 + r^2

Passo 8

Resolvendo a integral, fazemos uma substituição: u = x^2 + r^2, então du = 2r , dr. Assim,
V = sigma2epsilon0 cdot integralx^2^x^2 + R^2 12raizu , du
V = sigma4epsilon0 cdot [ 2raizu ]x^2^x^2 + R^2
V = sigma2epsilon0 ( raizx^2 + R^2 - x )

Resposta

O potencial elétrico a uma distância x sobre o eixo de um disco uniformemente carregado é:
V(x) = sigma2epsilon0 ( raizx^2 + R^2 - x )

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