Determine o potencial a uma distância
sobre o eixo de um disco uniformemente carregado. (Vai ser clássico assim …)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o potencial elétrico a uma distância
sobre o eixo de um disco uniformemente carregado. Aqui, estamos trabalhando com eletrostática, que é a parte da física que estuda cargas elétricas em repouso e os campos e potenciais que elas geram. Para resolver isso, vamos precisar integrar as contribuições de pequenas partes do disco para encontrar o potencial total no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas coisas. Suponha que o disco tenha um raio
e uma densidade de carga superficial uniforme
(carga por unidade de área). Queremos encontrar o potencial elétrico
em um ponto
que está a uma distância
ao longo do eixo perpendicular ao centro do disco.
Passo 3
Lembre-se que o potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
Onde:
-
é uma pequena quantidade de carga, -
é a distância entre a carga e o ponto , -
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Para um disco, vamos considerar anéis concêntricos de raio
e espessura
. A carga
de um anel é:
Aqui,
é a área do anel.
Passo 5
A distância
entre um ponto no anel e o ponto
é o mesmo para todo o anel e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Mas na verdade, isso está incorreto. A distância correta entre um elemento do anel e o ponto
é
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão do potencial:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o potencial total
, integramos
de
até
:
Passo 8
Resolvendo a integral, fazemos uma substituição:
, então
. Assim,
Resposta
O potencial elétrico a uma distância
sobre o eixo de um disco uniformemente carregado é: