Um disco de raio
tem uma densidade de carga
para
e uma densidade de carga igual e oposta -
para
. A carga total do disco é nula. (d) Calcule o campo elétrico sobre o eixo do disco. Dica: se reclamar vai ter que fazer pela integração direta da lei de Coulomb.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um disco com raio
onde, na região central com raio menor que
(
), a densidade de carga é
. Já na região de
, a densidade de carga é
. A carga total do disco acaba sendo nula porque as cargas positivas e negativas se equilibram. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico ao longo do eixo desse disco. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb e fazer uma integração direta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Coulomb nos dá a força entre duas cargas, mas para campos elétricos, temos uma fórmula relacionada:
Como estamos interessados no campo ao longo do eixo
, podemos simplificar a expressão considerando simetria do problema.
Passo 3
Vamos considerar um elemento anular do disco com raio
e espessura
. A área desse anel é
. A carga nesse anel depende da região:
- Para
, a densidade é . - Para
, a densidade é .
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse anel no ponto ao longo do eixo
tem apenas componente na direção
devido à simetria. A contribuição dos componentes radiais se cancelam. A expressão para o campo de um anel no eixo é:
onde
é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo.
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Agora, para encontrar o campo total
, vamos integrar essa expressão de
até
:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, temos
, o que simplifica a integral para:
Avaliada de 0 a
, a integral resulta em:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, lembrando que o disco tem duas regiões de carga,
e
, onde as densidades são
e
respectivamente. Então, o campo total será a soma dos campos causados por cada região:
Para
:
Para
:
Passo 9
Somando os dois campos:
Distribuindo:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o campo elétrico no ponto ao longo do eixo do disco é: