Um disco de raio R tem uma densidade de carga +sigma0 para r e uma densidade de carga igual e oposta - sigma0 para a. A carga total do disco é nula. (d) Calcule o campo elétrico sobre o eixo do disco. Dica: se reclamar vai ter que fazer pela integração direta da lei de Coulomb.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um disco com raio onde, na região central com raio menor que ( ), a densidade de carga é . Já na região de , a densidade de carga é . A carga total do disco acaba sendo nula porque as cargas positivas e negativas se equilibram. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico ao longo do eixo desse disco. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb e fazer uma integração direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Coulomb nos dá a força entre duas cargas, mas para campos elétricos, temos uma fórmula relacionada:
E = 14pivarepsilon0 integral sigma (r - r')|r - r'|^3 , dA'
Como estamos interessados no campo ao longo do eixo , podemos simplificar a expressão considerando simetria do problema.

Passo 3

Vamos considerar um elemento anular do disco com raio e espessura . A área desse anel é . A carga nesse anel depende da região:
  • Para , a densidade é .
  • Para , a densidade é .

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse anel no ponto ao longo do eixo dEz = 14pivarepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r , dr cdot z(z^2 + r^2)^3/2 tem apenas componente na direção devido à simetria. A contribuição dos componentes radiais se cancelam. A expressão para o campo de um anel no eixo é:
onde é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo.

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
dEz = sigma z2varepsilon0 cdot r , dr(z^2 + r^2)^3/2
Agora, para encontrar o campo total Ez = sigma z2varepsilon0 integral0^R r , dr(z^2 + r^2)^3/2 , vamos integrar essa expressão de até :

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral r , dr(z^2 + r^2)^3/2
Fazendo a substituição 12 integral u^-3/2 , du = -u^-1/2 = -1raizz^2 + r^2 , temos [ -1raizz^2 + R^2 + 1z ] , o que simplifica a integral para:
Avaliada de 0 a , a integral resulta em:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para Ez = sigma z2varepsilon0 ( 1z - 1raizz^2 + R^2 ) :
Ez = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 )
Simplificando:

Passo 8

Agora, lembrando que o disco tem duas regiões de carga, Ez1 = sigma02varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + a^2 ) e Ez2 = -sigma02varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) , onde as densidades são e respectivamente. Então, o campo total será a soma dos campos causados por cada região:
Para :
Para :

Passo 9

Somando os dois campos:
Ez = Ez1 + Ez2 = sigma02varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + a^2 ) - sigma02varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 )
Distribuindo:
Ez = sigma02varepsilon0 ( 1 - 1 - zraizz^2 + a^2 + zraizz^2 + R^2 )
Simplificando:
Ez = sigma0 z2varepsilon0 ( 1raizz^2 + R^2 - 1raizz^2 + a^2 )

Resposta

Portanto, o campo elétrico no ponto ao longo do eixo do disco é:
Ez = sigma0 z2varepsilon0 ( 1raizz^2 + R^2 - 1raizz^2 + a^2 )

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